证明:方法一(反证法) 假设α=β(且均为锐角),由于sin(α+β)=2sinα, ∴sinαcosβ+cosαsinβ=2sinα ∴2sinαcosα=2sinα ∴cos α=1, 这与0<α<,相矛盾,故α≠β. 假设α>β,∵sinαcosβ+cosαsinβ=2sin α. ∴cosαsinβ=sinα(2-cos β),即=. 由于>α>β>0,易知上式左边大于1,而右边小于1,不能成立,故α≤β. 因为α≠β且α≤β,只能是α<β. 方法二(综合法)由已知sinαcosβ+cosαsinβ=2sinα, ∵0<α<,0<β<, ∴0<cosα<1,0<cosβ<1. ∴2sinα=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ, 即sinα<sinβ,∴α<β. |