设a=(cosα,(λ-1)sinα),b=(cosβ,sinβ)(λ>0,0<α<β<π)是平面上的两个向量,且a+b与a-b互相垂直.(1)求λ的值;(2)
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设a=(cosα,(λ-1)sinα),b=(cosβ,sinβ)(λ>0,0<α<β<π)是平面上的两个向量,且a+b与a-b互相垂直.(1)求λ的值;(2)
题型:天津一模
难度:
来源:
设
a
=(cosα,(λ-1)sinα),
b
=(cosβ,sinβ)(λ>0,0<α<β<π)是平面上的两个向量,且
a
+
b
与
a
-
b
互相垂直.
(1)求λ的值;
(2)若
a
•
b
=
4
5
,tanβ=
4
3
,求tanα的值.
答案
(1)由题设,得
(
a
+
b
)
•
(
a
-
b
)
=
|
a
|
2
-
|
b
|
2
=cos
2
α+(λ-1)
2
sin
2
α-cos
2
β-sin
2
β=1-sin
2
α+(λ-1)
2
sin
2
α-1=(λ-1)
2
sin
2
α-sin
2
α;
∵
a
+
b
与
a
-
b
垂直,∴(λ-1)
2
sin
2
α-sin
2
α=0,即 λ(λ-2)sin
2
α=0,且0<α<π,∴sin
2
α≠0,
又 λ>0,故 λ-2=0,∴λ=2;
(2)当
a
+
b
与
a
-
b
垂直时,
a
=(cosα,sinα),
b
=(cosβ,sinβ),∴
a
•
b
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),
∴cos(α-β)=
4
5
(0<α<β<π),即
-
π
2
<α-β<0
,∴sin(α-β)=
-
3
5
,tan(α-β)=-
3
4
,
∴tanα=tan[(α-β)+β]=
tan(α-β)+tanβ
1-tan(α-β)tanβ
=
-
3
4
+
4
3
1-(-
3
4
)×
4
3
=
7
24
.
举一反三
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且
sinAcosC+cosAsinC=
3
2
,若
b=
7
,△ABC的面积
S
△ABC
=
3
4
3
,求a+c的值.
题型:松江区二模
难度:
|
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已知向量
.
a
=(Asin
x
3
,Acos
x
3
),
.
b
=(cos
π
6
,sin
π
6
)函数f(x)=
.
a
•
.
b
(A>0,x∈R),且f(2π)=2.
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)设α,β∈[0,
π
2
],f(3α+π)=
16
5
,f(3β+
5π
2
)=-
20
13
,求cos(α+β)的值.
题型:不详
难度:
|
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设a,b均为大于1的自然数,函数f(x)=a(b+sinx),g(x)=b+cosx,若存在实数m,使得f(m)=g(m),则a+b=______.
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知
C-A=
π
2
,sinB=
1
3
.
(1)求sinA的值;
(2)设
AC=
6
,求△ABC的面积.
题型:不详
难度:
|
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已知
a
=(cosx+sinx,sinx),
b
=(cosx-sinx,2cosx).
(I)求证:向量
a
与向量
b
不可能平行;
(II)若
a
•
b
=1,且x∈[-π,0],求x的值.
题型:黄州区模拟
难度:
|
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