（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由C（α+β）推导两角和的正弦公式S（α+β）：sin（α+β

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（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C_（α+β）：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由C_（α+β）推导两角和的正弦公式S_（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；
（Ⅱ）已知cosα=，α∈，tanβ=，β∈，求cos（α+β）。

答案

解：（Ⅰ）①证明：如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，
并作出角α，β与-β，
使角α的始边为Ox，交⊙O于点P₁，终边交⊙O于点P₂；
角β的始边为OP₂，终边交⊙O于点P₃，角-β的始边为OP₁，
终边交⊙O于点P₄，
则P₁（1，0），P₂（cosα，sinα），
P₃（cos（α+β），sin（α+β）），P₄（cos（-β），sin（-β）），
由P₁P₃=P₂P₄及两点间的距离公式，
得[cos（α+β）-1]²+sin²（α+β）=[cos（-β）-cosα]²+[sin（-β）-sinα]²，
展开并整理，得2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ），
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由①易得，



=sinαcosβ+cosαsinβ，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；（Ⅱ），
∴，
，
∴，
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
。