已知z为复数,z+2i和z2-i均为实数,其中i是虚数单位.(Ⅰ)求复数z;(Ⅱ)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
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已知z为复数,z+2i和z2-i均为实数,其中i是虚数单位.(Ⅰ)求复数z;(Ⅱ)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
来源:
已知z为复数,z+2i和
z
2-i
均为实数,其中i是虚数单位.
(Ⅰ)求复数z;
(Ⅱ)若复数(z+ai)
2
在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
答案
(Ⅰ)设复数z=a+bi(a,b∈R),
由题意,z+2i=a+bi+2i=a+(b+2)i∈R,
∴b+2=0,即b=-2.
又
z
2-i
=
(a+bi)(2+i)
5
=
2a-b
5
+
2b+a
5
i∈R
,
∴2b+a=0,即a=-2b=4.∴z=4-2i.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知z=4-2i,
∵(z+ai)
2
=(4-2i+ai)
2
=[4+(a-2)i]
2
=16-(a-2)
2
+8(a-2)i
对应的点在复平面的第一象限,
∴
16-(a-2
)
2
>0
8(a-2)>0
解得a的取值范围为2<a<6.
举一反三
设复数
z=1-
1
i
,则z的共轭复数
.
z
=( )
A.
1+
1
i
B.1+i
C.
1-
1
i
D.1-i
题型:不详
难度:
|
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若i是虚数单位,设
1+i
2-i
=a+(b+1)i(a,b∈R),则复数z=a+bi在复平面内对应的点位于第______象限.
题型:不详
难度:
|
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已知复数z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|=1,则
y
x
的最大值为______.
题型:不详
难度:
|
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若z
l
=a+2i,z
2
=3-4i,且
z
1
z
2
为纯虚数,则实数a的值为______.
题型:不详
难度:
|
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已知复数z=1-i(i是虚数单位),若a∈R使得
a
z
+z∈R
,则a=( )
A.
1
2
B.-
1
2
C.2
D.-2
题型:不详
难度:
|
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