设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=1-(.z)41+z4，并且|ω|=33，argω＜π2，求θ．

题型：不详难度：来源：

设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=

1-( . z )4

1+z4

，并且|ω|=

3

3

，argω＜

π

2

，求θ．

答案

解法一ω=

1-[cos(-θ)+isin(-θ)]4

1+[cosθ+isinθ]4

=

1-cos(-4θ)-isin(-4θ)

1+cos4θ+isin4θ

=

2sin22θ+2isin2θcos2θ

2cos22θ+2isin2θcos2θ

=tg2θ（sin4θ+icos4θ）．|ω|=|tg2θ|•|sin4θ+icos4θ|=|tg2θ|=

3

3

，tg2θ=±

3

3

．
因0＜θ＜π，故有
（ⅰ）当tg2θ=

3

3

时，得θ=

π

12

或θ=

7π

12

，这时都有ω=

3

3

(cos

π

6

+isin

π

6

)，
得argω=

π

6

＜

π

2

，适合题意．
（ⅱ）当tg2θ=-

3

3

时，得θ=

5π

12

或θ=

11π

12

，这时都有ω=

3

3

(cos

11π

6

+isin

11π

6

)，
得argω=

11π

6

＞

π

2

，不适合题意，舍去．
综合（ⅰ）、（ⅱ）知θ=

π

12

或θ=

7π

12

．
解法二z⁴=cos4θ+isin4θ．
记φ=4θ，得(

.

z

)4=

.

(z4)

=cosϕ-isinϕ．ω=

1-cosϕ+isinϕ

1+cosϕ+isinϕ

．=

sinϕ

1+cosϕ

(sinϕ+icosϕ)=tg

ϕ

2

(sinϕ+icosϕ)．∵|ω|=

3

3

，argω＜

π

2

，
①②③
∴

|tg ϕ 2 |= 3 3 tg ϕ 2 •sinϕ＞0 tg ϕ 2 •cosϕ≥0

当①成立时，②恒成立，所以θ应满足
（ⅰ）

0＜θ＜π tg2θ= 3 3 cos4θ≥0

，或（ⅱ）

0＜θ＜π tg2θ=- 3 3 cos4θ≤0

，
解（ⅰ）得θ=

π

12

或θ=

7π

12

．（ⅱ）无解．
综合（ⅰ）、（ⅱ）θ=

π

12

或θ=

7π

12

．