设项数均为()的数列、、前项的和分别为、、.已知集合=.(1)已知,求数列的通项公式;(2)若,试研究和时是否存在符合条件的数列对(,),并说明理由;(3)若,

设项数均为()的数列、、前项的和分别为、、.已知集合=.(1)已知,求数列的通项公式;(2)若,试研究和时是否存在符合条件的数列对(,),并说明理由;(3)若,

题型:不详难度:来源:
设项数均为)的数列项的和分别为.已知集合=.
(1)已知,求数列的通项公式;
(2)若,试研究时是否存在符合条件的数列对(),并说明理由;
(3)若,对于固定的,求证:符合条件的数列对()有偶数对.
答案
(1);(2)时,数列可以为(不唯一)6,12,16,14;2,8,10,4,时,数列对()不存在.(3)证明见解析.
解析

试题分析:(1)这实质是已知数列的前项和,要求通项公式的问题,利用关系来解决;(2)时,可求出,再利用
=,可找到数列对()(注意结果不唯一),当时,由于,即,可以想象,若存在,则应该很大(体现在),研究发现(具体证明可利用二项展开式,
,注意到,展开式中至少有7项,故,下面证明这个式子大于,应该很好证明了),这不符合题意,故不存在;(3)可通过构造法说明满足题意和数列对是成对出现的,即对于数列对(),构造新数列对),则数列对()也满足题意,(要说明的是=且数列不相同(用反证法,若相同,则,又,则有均为奇数,矛盾).
试题解析:(1)时,
时,不适合该式
故,                       4分
(2)
时,
                6分
时,
=
数列可以为(不唯一):
6,12,16,14;2,8,10,4    ②  16,10,8,14;12,6,2,4           8分
时,


此时不存在.故数列对()不存在.                10分
另证:
时,
(3)令)        12分

=,得

=
所以,数列对()与()成对出现。         16分
假设数列相同,则由,得,均为奇数,矛盾!
故,符合条件的数列对()有偶数对。               18分项和的关系;(2)观察法,二项展开式证明不等式;(3)构造法.
举一反三
已知数列的前项和,数列满足 
(Ⅰ)求数列的通项;(Ⅱ)求数列的通项
(Ⅲ)若,求数列的前项和
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已知数列的各项都是正数,且对任意都有,其中为数列的前项和.
(1)求
(2)求数列的通项公式;
(3)设,对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围.
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数列中, 则          .
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记[x]为不超过实数x的最大整数.例如,[2]=2,[1.5]=1,[-0.3]=-1.设a为正整数,数列{xn}满足x1axn+1 (n∈N*).现有下列命题:
①当a=5时,数列{xn}的前3项依次为5,3,1;
②对数列{xn}都存在正整数k,当nk时总有xnxk
③当n≥1时,xn-1;
④对某个正整数k,若xk+1xk,则xk=[].
其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)
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已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是________.
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