（1）（法一）⇒qan-an=d⇒（q-1）an=d
当q=1时，∵an≠0，所以d=0；
当q≠1时，⇒an=是一常数，矛盾，所以{an}为非零常数列； （5分）
（法二）设an=a1+（n-1）d，则有：==q，
即a1+nd=（a1q-qd）+qdn（2分）
所以，解得．由此可知数列{an}为非零常数列； （5分）
（2）记an2=bn，由（1）证明的结论知：{an2}为非零常数列．（2分）
显然，{an2}为非零常数列时，{an}不一定为非零常数列，如：非常数数列an=（-p）n（p为大于0的正常数）和常数列an=p（p为非零常数）均满足题意要求．（5分）
（3）若{an}满足an+1m-anm=d"（常数）且=q′（常数），则当m为奇数时，{an}必为非零常数列；当m为偶数时，{an}不一定为非零常数列．
或者：设anm=a1m+（n-1）d，即anm=A+Bn，则=()m=q′，即(1+)m对一切n∈N*均为常数，则必有B=0，即有anm=A，当m为奇数时，an=，当m为偶数时，an=(A＞0)或者an= i (A＜0).3°{an}满足an+1m-anm=d"（常数）且=q′（常数），且m、l为整数，
当m、l均为奇数时，{an}必为非零常数列；否则{an}不一定为常数列．
事实上，条件=q′（正常数）可以转化为=(q′)（常数），整个问题转化为2°，结论显然成立．（结论5分）
或者：设anm=a1m+（n-1）d，即anm=A+Bn，当m为奇数时，有an=，则=()=q′，即(1+)对一切n∈N*均为常数，则必有B=0，即有anm=A，则an=，当m为偶数时，如反例：an=（-1）nn∈N*，它既满足m次方后是等差数列，又是l（不管l为奇数还是偶数）次方后成等比数列，但它不为常数列.4°{an}满足an+1m-anm=d"（常数）且=q′（常数），m、l为有理数，q′＞0，则{an}必为非零常数列；否则{an}不一定为常数列．
证明过程同3°（结论6分）5°{an}满足an+1m-anm=d"（常数）且=q′（常数），且m、l为实数，q′＞0，{an}是不等于1的正数数列，则{an}必为非零且不等于1的常数列；否则{an}不一定为常数列．
事实上，当q′＞0，m、l为实数时，条件=q′同样可以转化为=(q′)，记anm=bn，由第（1）题的结论知：{bn}必为不等于1的正常数数列，也即{anm}为不等于1的正常数数列，an=，从而{an}也是不等于1的正常数数列．
（结论7分） |