设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=cn+a

题型：不详难度：来源：

设△A_nB_nC_n的三边长分别为a_n，b_n，c_n，△A_nB_nC_n的面积为S_n，n=1，2，3…若b₁＞c₁，b₁+c₁=2a₁，a_n+1=a_n，bn+1=

cn+an

2

，cn+1=

bn+an

2

，则（　　）

A．{Sn}为递减数列

B．{Sn}为递增数列

C．{S2n-1}为递增数列，{S2n}为递减数列

D．{S2n-1}为递减数列，{S2n}为递增数列

答案

因为a_n+1=a_n，bn+1=

cn+an

2

，cn+1=

bn+an

2

，所以a_n=a₁，
所以b_n+1+c_n+1=a_n+

bn+cn

2

=a₁+

bn+cn

2

，
所以b_n+1+c_n+1-2a₁=

1

2

(bn+cn-2a1)，
又b₁+c₁=2a₁，所以b_n+c_n=2a₁，
于是，在△A_nB_nC_n中，边长B_nC_n=a₁为定值，另两边A_nC_n、A_nB_n的长度之和b_n+c_n=2a₁为定值，
因为b_n+1-c_n+1=

cn+an

2

-

bn+an

2

=-

1

2

(bn-cn)，
所以b_n-c_n=(-

1

2

)n-1(b1-c1)，
当n→+∞时，有b_n-c_n→0，即b_n→c_n，
于是△A_nB_nC_n的边B_nC_n的高h_n随着n的增大而增大，
所以其面积Sn=

1

2

|BnCn|•hn=

1

2

a1hn为递增数列，
故选B．