将一个正整数n表示为a1+a2+…+ap(p∈N*)的形式,其中ai∈N*,i=1,2,…,p,且a1≤a2≤…≤ap,记所有这样的表示法的种数为f(n)(如4

将一个正整数n表示为a1+a2+…+ap(p∈N*)的形式,其中ai∈N*,i=1,2,…,p,且a1≤a2≤…≤ap,记所有这样的表示法的种数为f(n)(如4

题型:海淀区二模难度:来源:
将一个正整数n表示为a1+a2+…+ap(p∈N*)的形式,其中ai∈N*,i=1,2,…,p,且a1≤a2≤…≤ap,记所有这样的表示法的种数为f(n)(如4=4,4=1+3,4=2+2,4=1+1+2,4=1+1+1+1,故f(4)=5).
(Ⅰ)写出f(3),f(5)的值,并说明理由;
(Ⅱ)证明:f(n+1)-f(n)≥1(n=1,2,…);
(Ⅲ)对任意正整数n,比较f(n+1)与
1
2
[f(n)+f(n+2)]
的大小,并给出证明.
答案
(Ⅰ)因为3=3,3=1+2,3=1+1+1,所以f(3)=3.
因为5=5,5=2+3,5=1+4,5=1+1+3,5=1+2+2,5=1+1+1+2,5=1+1+1+1+1,
所以f(5)=7.
(Ⅱ)证明:因为n+1≥2,把n+1的一个表示法中a1=1的a1去掉,就可得到一个n的表示法;反之,在n的一个表示法前面添加一个“1+”,就得到一个n+1的表示法,即n+1的表示法中a1=1的表示法种数等于n的表示法种数,
所以 f(n+1)-f(n)表示的是n+1的表示法中a1≠1的表示法数.
即 f(n+1)-f(n)≥1.
(Ⅲ)结论是f(n+1)
1
2
[f(n)+f(n+2)]

证明如下:由结论知,只需证 f(n+1)-f(n)≤f(n+2)-f(n+1).
由(Ⅱ)知:f(n+1)-f(n)表示的是n+1的表示法中a1≠1的表示法数,f(n+2)-f(n+1)是n+2的表示法中a1≠1的表示法数.
考虑到n+1≥2,把一个a1≠1的n+1的表示法中的ap加上1,就可变为一个a1≠1的n+2的表示法,这样就构造了从a1≠1的n+1的表示法到a1≠1的n+2的表示法的一个对应,所以有f(n+1)-f(n)≤f(n+2)-f(n+1).
举一反三
数列{an}是一个单调递增数列,且an=n2+λn(n∈N*),则实数λ的取值范围是______.
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某资料室在计算机使用中,如右表所示,编码以一定规则排列,且从左至右以及从上到下都是无限的,此表中,主对角线上数列1,2,5,10,17,…的通项公式为______
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数列5,55,555,5555,…的一个通项公式为an=______.
在数列a1,a2,…,an…的每相邻两项中插入3个数,使它们与原数构成一个新数列,则新数列的第49项(  )
A.不是原数列的项B.是原数列的第12项
C.是原数列的第13项D.是原数列的第14项
设函数f(x)在定义域D上满足f(
1
2
)=-1,f(x)≠0,且当x,y∈D时,f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
).若数列{xn}中,x1=
1
2
xn+1=
2xn
1+
x2n
(xn∈D,n∈N×).则数列{f(xn)}的通项公式为(  )
A.f(xn)=2n-1B.f(xn)=-2n-1C.f(xn)=-3n+1D.f(xn)=3n