已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=a2n-2an+22an,且an>0,n∈N+.(1)求a1,a2,a3;(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法
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已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=a2n-2an+22an,且an>0,n∈N+.(1)求a1,a2,a3;(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
满足:
S
n
=
a
2n
-2
a
n
+2
2
a
n
,且a
n
>0,n∈N
+
.
(1)求a
1
,a
2
,a
3
;
(2)猜想{a
n
}的通项公式,并用数学归纳法证明.
答案
(1)
a
1
=
S
1
=
a
21
-2
a
1
+2
2
a
1
,所以,
a
1
=-1±
3
,又∵a
n
>0,所以
a
1
=
3
-1
.
S
2
=
a
1
+
a
2
=
a
2
2
+
1
a
2
-1
,所以
a
2
=
5
-
3
,
S
3
=
a
1
+
a
2
+
a
3
=
a
3
2
+
1
a
3
-1
所以
a
3
=
7
-
5
.
(2)猜想
a
n
=
2n+1
-
2n-1
.
证明:1°当n=1时,由(1)知
a
1
=
3
-1
成立.2°假设n=k(k∈N
+
)时,
a
k
=
2k+1
-
2k-1
成立
a
k+1
=
S
k+1
-
S
k
=(
a
k+1
2
+
1
a
k+1
-1)-(
a
k
2
+
1
a
k
-1)
=
a
k+1
2
+
1
a
k+1
-
2k+1
.
所以
a
2k+1
+2
2k+1
a
k+1
-2=0
a
k+1
=
2(k+1)+1
-
2(k+1)-1
所以当n=k+1时猜想也成立.
综上可知,猜想对一切n∈N
+
都成立.
举一反三
由数列1,10,100,1000,…猜测该数列的第n项可能是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}的前n项和
S
n
=2
n
2
-3
,则a
n
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
数列:
-
1
1×2
,
1
2×3
,-
1
3×4
,
1
4×5
,…的一个通项公式为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列
2
,
5
,2
2
,
11
,…
,则
2
5
是该数列的第______项.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
.已知a
1
=a,a
n+1
=S
n
+3
n
,n∈N
*
.由
(Ⅰ)设b
n
=S
n
-3
n
,求数列{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若a
n+1
≥a
n
,n∈N
*
,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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