已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=a2n-2an+22an,且an>0,n∈N+.(1)求a1,a2,a3;(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法

已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=a2n-2an+22an,且an>0,n∈N+.(1)求a1,a2,a3;(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法

题型:不详难度:来源:
已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=
a2n
-2an+2
2an
,且an>0,n∈N+
(1)求a1,a2,a3
(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.
答案
(1)a1=S1=
a21
-2a1+2
2a1
,所以,a1=-1±


3
,又∵an>0,所以a1=


3
-1
.S2=a1+a2=
a2
2
+
1
a2
-1
,所以 a2=


5
-


3
S3=a1+a2+a3=
a3
2
+
1
a3
-1
所以a3=


7
-


5

(2)猜想an=


2n+1
-


2n-1

证明:1°当n=1时,由(1)知a1=


3
-1
成立.2°假设n=k(k∈N+)时,ak=


2k+1
-


2k-1
成立ak+1=Sk+1-Sk=(
ak+1
2
+
1
ak+1
-1)-(
ak
2
+
1
ak
-1)
=
ak+1
2
+
1
ak+1
-


2k+1

所以
a2k+1
+2


2k+1
ak+1-2=0
ak+1=


2(k+1)+1
-


2(k+1)-1
所以当n=k+1时猜想也成立.
综上可知,猜想对一切n∈N+都成立.
举一反三
由数列1,10,100,1000,…猜测该数列的第n项可能是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3,则an=______.
题型:不详难度:| 查看答案
数列:-
1
1×2
1
2×3
,-
1
3×4
1
4×5
,…的一个通项公式为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列


2


5
,2


2


11
,…
,则2


5
是该数列的第______项.
题型:不详难度:| 查看答案
设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*.由
(Ⅰ)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.