已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数,数列{xn}是一个公差为2的等差数列,且满足f(x8)+f(x9)+f(x10)+f(x11)=0,则x2012的值为　

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已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数,数列{x_n}是一个公差为2的等差数列,且满足f(x₈)+f(x₉)+f(x₁₀)+f(x₁₁)=0,则x₂₀₁₂的值为　　　　.

答案

4005

解析

设x₈=a,则x₉=a+2,x₁₀=a+4,x₁₁=a+6,
所以f(a)+f(a+2)+f(a+4)+f(a+6)=0,且f(a)<f(a+2)<f(a+4)<f(a+6),
所以f(a)<0且f(a+6)>0.
结合奇函数关于原点的对称性可知,f(a)+f(a+6)=0,f(a+2)+f(a+4)=0,
所以f(a+3)=0=f(0),即a+3=0,所以x₈=-3.
设数列{x_n}通项x_n=x₁+2(n-1),所以x₈=x₁+14=-3,所以x₁=-17.
故通项x_n=2n-19.所以x₂₀₁₂=2×2012-19=4005.