设正项数列{an}的前n项和为Sn,若{an}和{}都是等差数列,且公差相等.(1)求{an}的通项公式;(2)若a1,a2,a5恰为等比数列{bn}的前三项,
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设正项数列{an}的前n项和为Sn,若{an}和{}都是等差数列,且公差相等.(1)求{an}的通项公式;(2)若a1,a2,a5恰为等比数列{bn}的前三项,
题型:不详
难度:
来源:
设正项数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若{a
n
}和{
}都是等差数列,且公差相等.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)若a
1
,a
2
,a
5
恰为等比数列{b
n
}的前三项,记数列c
n
=
,数列{c
n
}的前n项和为T
n
.求证:对任意n∈N
*
,都有T
n
<2.
答案
(1) a
n
=
(2)见解析
解析
解:(1)设{a
n
}的公差为d,
则
=
=
·n,且a
1
-
=0.
又d=
,所以d=
,
a
1
=
=
,a
n
=
.
(2)证明:易知b
n
=
×3
n
-1
,
∴c
n
=
.
当n≥2时,
<
=
=
-
,
∴当n≥2时,T
n
=
+
+…+
<
+
+
+…+
-
=2-
<2,且T
1
=
<2,
故对任意n∈N
*
,都有T
n
<2.
举一反三
已知数列{a
n
},如果数列{b
n
}满足b
1
=a
1
,b
n
=a
n
+a
n
-1
,n≥2,n∈N
*
,则称数列{b
n
}是数列{a
n
}的“生成数列”.
(1)若数列{a
n
}的通项为a
n
=n,写出数列{a
n
}的“生成数列”{b
n
}的通项公式;
(2)若数列{c
n
}的通项为c
n
=2n+b(其中b是常数),试问数列{c
n
}的“生成数列”{q
n
}是否是等差数列,请说明理由;
(3)已知数列{d
n
}的通项为d
n
=2
n
+n,求数列{d
n
}的“生成数列”{p
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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若数列{a
n
}是等差数列,则数列{b
n
}b
n
=
也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{c
n
}是等比数列,且{d
n
}也是等比数列,则d
n
的表达式应为( )
A.d
n
=
B.d
n
=
C.d
n
=
D.d
n
=
题型:不详
难度:
|
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如果正整数a的各位数字之和等于6,那么称a为“好数”(如:6,24,2 013等均为“好数”),将所有“好数”从小到大排成一列a
1
,a
2
,a
3
,…,若a
n
=2 013,则n=( )
A.50
B.51
C.52
D.53
题型:不详
难度:
|
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已知S
n
是等比数列{a
n
}的前n项和,S
4
,S
2
,S
3
成等差数列,且a
2
+a
3
+a
4
=-18.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)是否存在正整数n,使得S
n
≥2 013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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在数列{a
n
}中,a
n
+1
=ca
n
(c为非零常数),前n项和为S
n
=3
n
+k,则实数k的值为( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
题型:不详
难度:
|
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