已知,数列的前项和为,点在曲线上,且,.(1)求数列的通项公式;(2)数列的前项和为,且满足,,求数列的通项公式;(3)求证:,.

已知,数列的前项和为,点在曲线上,且,.(1)求数列的通项公式;(2)数列的前项和为,且满足,,求数列的通项公式;(3)求证:,.

题型:不详难度:来源:
已知,数列的前项和为,点在曲线,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列的前项和为,且满足,求数列的通项公式;
(3)求证:.
答案
(1);(2);(3)详见解析.
解析

试题分析:(1)先根据函数的解析式,由条件“点在曲线”上得出之间的递推关系式,然后进行变形得到,于是得到数列为等差数列,先求出数列的通项公式,进而求出数列的通项公式;(2)根据(1)中的结果结合已知条件得到
,两边同时除以,得到,构造数列为等差数列,先求出数列的通项公式,然后求出,然后由之间的关系求出数列的通项公式;(3)对数列中的项进行放缩法
,再利用累加法即可证明相应的不等式.
试题解析:(1),∴
数列是等差数列,首项,公差

(2)由

数列是等差数列,首项为,公差为
,当时,
也满足上式,
(3)

.
举一反三
数列的前项和记为.
(1)求数列的通项公式;
(2)等差数列的前项和有最大值,且,又成等比数列,求.
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设数列的前n项和为,已知,,数列是公差为d的等差数列,.
(1)求d的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)求证:.
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已知正实数数列中,,则等于(   )
A.16B.8C.D.4

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在等比数列{}中,,公比,且的等比中项为2.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设 ,求:数列{}的前项和为
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已知正项等差数列的前项和为,若,且成等比数列.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)记的前项和为,求.
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