（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．将边长分别为1、2、3、…、n、n+1、…（）的正方形叠放

题型：不详难度：来源：

（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5
分，第(3)小题满分7分．
将边长分别为1、2、3、…、n、n+1、…（）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n个阴影部分图形.设前n个阴影部分图形的面积的平均值为．记数列满足,

（1）求的表达式；
（2）写出的值，并求数列的通项公式；
（3）记，若不等式有解，求的取值范围.

答案

解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为，第2个阴影部分图形的面积为，……，第n个阴影部分图形的面积为.（2分）
故
                  （4分）
（2），，，
当n为偶数时，，                       （3分）
当n为大于1的奇数时，，
故．                    （5分）
（3）由（2）知．
又．
（ⅰ）当n=1时，即，于是
（ⅱ）当n为偶数时，
即
于是，．     （3分）
（ⅲ）当n为大于1的奇数时，
即
于是，．       （5分）
综上所述：．                       （7分）

解析

略