试题分析:(1)根据利用求出数列的递推关系式,再利用累乘法数列的通项公式;(2)利用错位相减法求出,易知,再根据数列的单调性可知; (3)把代入整理得,然后参变量分离 得,构造函数,求的最大值,或者是直接构造函数 ,然后对二次项系数进行讨论,转化为求二次函数最值问题。 (1), ∵,∴ (), 两式相减得,() ∴,即( ), ∴(), 又,也满足上式,故数列的通项公式()。 由,知数列是等比数列,其首项、公比均为, ∴数列的通项公式。 (2)(1)∴ ① ∴ ② 由①-②,得, ∴ 又恒正, 故是递增数列,, ∴ 。 又不等式 即,即()恒成立. 方法一:设(), 当时,恒成立,则满足条件; 当时,由二次函数性质知不恒成立; 当时,由于对称轴,则在上单调递减, 恒成立,则满足条件, 综上所述,实数λ的取值范围是。 方法二:也即()恒成立, 令.则, 由,单调递增且大于0,∴单调递增, 当时,,且,故,∴实数λ的取值范围是。 及累乘法求数列的通项公式;(2)利用错位相减法进行数列求和;(3)数列单调性的判断;(4)构造函数解决不等式恒成立问题。 |