设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*.(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(2)若an+1≥an,n∈N

设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*.(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(2)若an+1≥an,n∈N

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设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*.
(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;
(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
答案
(1)bn= (a-3)2n-1,n∈N*.
(2)[-9,+∞)
解析
解:(1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n
即Sn+1=2Sn+3n
由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),
即bn+1=2bn,b1=S1-3=a-3.
因此,所求通项公式为
bn=b1·2n-1=(a-3)2n-1,n∈N*.①
(2)由①知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*
于是,当n≥2时,
an=Sn-Sn-1
=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2
=2×3n-1+(a-3)2n-2
an+1-an
=4×3n-1+(a-3)2n-2
=2n-2·[12()n-2+a-3],
当n≥2时,an+1≥an⇔12()n-2+a-3≥0⇔a≥-9.
又a2=a1+3>a1.
所以a的取值范围是[-9,+∞).
举一反三
已知数列{2n-1·an}的前n项和Sn=9-6n,则数列{an}的通项公式是________.
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等差数列{an}的前n项和是Sn,且a1=10,a5=6,那么下列不等式中不成立的是(  )
A.a10+a11>0B.S21<0
C.a11+a12<0D.当n=10时,Sn最大

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已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn+n-4.
(1)求证{an}为等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
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已知各项均不相等的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=15,且a3+1为a1+1和a7+1的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn
(2)设Tn为数列{}的前n项和,问是否存在常数m,使Tn=m[],若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
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设数列{an}中,若an+1=an+an+2(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”,已知数列{bn}为“凸数列”,且b1=1,b2=-2,则数列{bn}的前2014项和为________.
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