已知数列{an}满足a1+a2+…+an=n2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意给定的k∈N*,是否存在p,r∈N*(k<p<
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已知数列{an}满足a1+a2+…+an=n2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意给定的k∈N*,是否存在p,r∈N*(k<p<
题型:不详
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已知数列{a
n
}满足a
1
+a
2
+…+a
n
=n
2
(n∈N
*
).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)对任意给定的k∈N
*
,是否存在p,r∈N
*
(k<p<r)使
,
,
成等差数列?若存在,用k分别表示p和r(只要写出一组);若不存在,请说明理由.
答案
(1)a
n
=2n-1(n∈N
*
).(2)当k=1时,不存在p,r;当k≥2时,存在p=2k-1,r=4k
2
-5k+2满足题设.
解析
(1)当n=1时,a
1
=1;当n≥2,n∈N
*
时,a
1
+a
2
+…+a
n
-1
=(n-1)
2
,所以a
n
=n
2
-(n-1)
2
=2n-1;综上所述,a
n
=2n-1(n∈N
*
).
(2)当k=1时,若存在p,r使
,
,
成等差数列,则
=
-
=
.因为p≥2,所以a
r
<0与数列{a
n
}为正数相矛盾,因此,当k=1时不存在;
当k≥2时,设a
k
=x,a
p
=y,a
r
=z,则
,所以z=
.令y=2x-1,得z=xy=x(2x-1),此时a
k
=x=2k-1,a
p
=y=2x-1=2(2k-1)-1,所以p=2k-1,a
r
=z=(2k-1)(4k-3)=2(4k
2
-5k+2)-1,所以r=4k
2
-5k+2.
综上所述,当k=1时,不存在p,r;当k≥2时,存在p=2k-1,r=4k
2
-5k+2满足题设.
举一反三
设不等式组
所表示的平面区域为D
n
,记D
n
内的整点个数为a
n
(n∈N
*
)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)记数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且T
n
=
.若对于一切的正整数n,总有T
n
≤m,求实数m的取值范围.
题型:不详
难度:
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已知正项数列
,其前
项和
满足
且
是
和
的等比中项..
(1)求数列
的通项公式;
(2)设
,求数列
的前99项和.
题型:不详
难度:
|
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设
为数列
的前
项和,对任意的
,都有
为常数,且
.
(1)求证:数列
是等比数列;
(2)设数列
的公比
,数列
满足
,
,求数列
的通项公式;
(3)在满足(2)的条件下,求数列
的前
项和
.
题型:不详
难度:
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等差数列
的前
项和为
,若
,则
题型:不详
难度:
|
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已知
为公差不为零的等差数列,首项
,
的部分项
、
、 、
恰为等比数列,且
,
,
.
(1)求数列
的通项公式
(用
表示);
(2)设数列
的前
项和为
, 求证:
(
是正整数
题型:不详
难度:
|
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