已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=n2,数列{bn}满足bn=,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式an和Tn;(2)若对任
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=n2,数列{bn}满足bn=,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式an和Tn;(2)若对任
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,且满足
S
n
=
n
2
,数列{
b
n
}满足
b
n
=
,
T
n
为数列{
b
n
}的前
n
项和.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式
a
n
和
T
n
;
(2)若对任意的
n
∈N
*
,不等式
λT
n
<
n
+(-1)
n
恒成立,求实数
λ
的取值范围.
答案
(1)
a
n
=2
n
-1.
(2)(-∞,0).
解析
(1)当
n
=1时,
a
1
=
S
1
=1,当
n
≥2时,
a
n
=
S
n
-
S
n
-1
=2
n
-1,验证当
n
=1时,也成立;所以
a
n
=2
n
-1.
b
n
=
=
,
所以
T
n
=
.
(2)由(1)得
λ
<
,
当
n
为奇数时,
λ
<
=2
n
-
-1恒成立,
因为当
n
为奇数时,2
n
-
-1单调递增,
所以当
n
=1时,2
n
-
-1取得最小值为0,此时,
λ
<0.
当
n
为偶数时,
λ
<
=2
n
+
+3恒成立,
因为当
n
为偶数时,2
n
+
+3单调递增,
所以当
n
=2时,2
n
+
+3取得最小值为
.此时,
λ
<
.
综上所述,对于任意的正整数
n
,原不等式恒成立,
λ
的取值范围是(-∞,0).
举一反三
在等差数列{
a
n
}中,
a
1
+
a
5
=10,
a
4
=7,则数列{
a
n
}的公差为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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等差数列{
a
n
}前9项的和等于前4项的和.若
a
4
+
a
k
=0,则
k
=________.
题型:不详
难度:
|
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将全体正整数排成一个三角形数阵:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
根据以上排列规律,数阵中第
n
(
n
≥3)行从左至右的第3个数是________.
题型:不详
难度:
|
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设{
a
n
}是公比不为1的等比数列,其前
n
项和为
S
n
,且
a
5
,
a
3
,
a
4
成等差数列.
(1)求数列{
a
n
}的公比;
(2)证明:对任意
k
∈N
*
,
S
k
+2
,
S
k
,
S
k
+1
成等差数列.
题型:不详
难度:
|
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设{
a
n
}是公比大于1的等比数列,
S
n
为数列{
a
n
}的前
n
项和.已知
S
3
=7,且
a
1
+3,3
a
2
,
a
3
+4构成等差数列.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式;
(2)令
b
n
=ln
a
3
n
+1
,
n
=1,2,…,求数列{
b
n
}的前
n
项和
T
n
.
题型:不详
难度:
|
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