数列的前n项和为，和满足等式（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：数列是等差数列；（Ⅲ）若数列满足，求数列的前n项和；（Ⅳ）设，求证：

题型：不详难度：来源：

数列的前n项和为，和满足等式
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求证：数列是等差数列；
（Ⅲ）若数列满足，求数列的前n项和；
（Ⅳ）设，求证：

答案

（Ⅰ）="8" （Ⅱ）见解析（III）（Ⅳ）见解析

解析

试题分析：（Ⅰ）令n=1,代入即可; （Ⅱ）利用两边同除以n+1,构造等差数列即可; （III）由（II）可知数列是等差数列,求出的解析式,再利用求出的通项公式，代入,求出，再利用错位相减法求出数列的前n项和;（Ⅳ）由（III）知,代入,求出的通项公式,再求出其前n项和,最后利用放缩法得到所求结果.
试题解析：（Ⅰ）由已知:
（Ⅱ）∵,同除以n+1,则有：,所以是以3为首项,1为公差的等差数列.
（III）由（II）可知,  
 
当 经检验，当n=1时也成立                  
解得：           
（Ⅳ）∵