试题分析:(1)由 . 当 时, ,解得 或 (舍去). 2分 当 时, 由![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012053349-62629.png) , ∵ ,∴ ,则 , ∴ 是首项为2,公差为2的等差数列,故 . 4分 另法:易得 ,猜想 ,再用数学归纳法证明(略). (2)证法一:∵![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012053350-65589.png)
, 4分 ∴当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012053350-85973.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012053351-60259.png)
.… 7分 当 时,不等式左边 显然成立. 8分 证法二:∵ ,∴ . ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012053352-23419.png) . 4分 ∴当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012053350-85973.png)
. 7分 当 时,不等式左边 显然成立. ……8分 (3)由 ,得 , 设 ,则不等式等价于 .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012053353-75990.png) ,……9分 ∵ ,∴ ,数列 单调递增. 假设存在这样的实数 ,使得不等式 对一切 都成立,则 ① 当 为奇数时,得 ; ……11分 ② 当 为偶数时,得 ,即 . 12分 综上, ,由 是非零整数,知存在 满足条件. 12分 点评:解决的关键是利用数列的单调性来证明不等式,以及分离参数的思想来求解参数的取值范围。 |