(本题满分14分)对数列{an},规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中。对自然数k,规定为{an}的k阶差分数列,其中。(1)已知数列{an}的通项
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(本题满分14分)对数列{an},规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中。对自然数k,规定为{an}的k阶差分数列,其中。(1)已知数列{an}的通项
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分14分)
对数列{a
n
},规定{△a
n
}为数列{a
n
}的一阶差分数列,其中
。
对自然数k,规定
为{a
n
}的k阶差分数列,其中
。
(1)已知数列{a
n
}的通项公式
,试判断
是否为等差或等比数列,为什么?
(2)若数列{a
n
}首项a
1
=1,且满足
,求数列{a
n
}的通项公式。
(3)对(2)中数列{a
n
},是否存在等差数列{b
n
},使得
对一切自然
都成立?若存在,求数列{b
n
}的通项公式;若不存在,则请说明理由。
答案
(1)根据给定的新定义来分析得到结论。
(2)
(3)存在等差数列
,b
n
=n,使得
对一切自然
都成立。
解析
试题分析:解:(1)
是首项为4,公差为2的等差数列
是首项为2,公差为0的等差数列;也是首项为2,公比为1的等比数列
(2)
,即
,即
猜想:
证明:i)当n=1时,
;
ii)假设n=k时,
时,
结论也成立
∴由i)、ii)可知,
(3)
,即
∴存在等差数列
,b
n
=n,使得
对一切自然
都成立。
点评:解决该试题的关键是利用数列的定义以及等差数列的概念结合得到结论,属于基础题。
举一反三
在等差数列
中,
,则
.
题型:不详
难度:
|
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观察下表:
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
…………
则第__________行的各数之和等于
题型:不详
难度:
|
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设数列
满足:
。
(1)求证:
;
(2)若
,对任意的正整数
恒成立,求
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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若
是等差数列,首项公差
,
,且
,则使数列
的前n项和
成立的最大自然数n是 ( )
A.4027
B.4026
C.4025
D.4024
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)
已知数列
满足:
(其中常数
).
(Ⅰ)求数列
的通项公式;
(Ⅱ)求证:当
时,数列
中的任何三项都不可能成等比数列;
(Ⅲ)设
为数列
的前
项和.求证:若任意
,
题型:不详
难度:
|
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