已知数列的前项和是,满足.(Ⅰ)求数列的通项及前项和；(Ⅱ)若数列满足,求数列的前项和；(Ⅲ)若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围

题型：不详难度：来源：

已知数列的前项和是,满足.
(Ⅰ)求数列的通项及前项和；
(Ⅱ)若数列满足,求数列的前项和；
(Ⅲ)若对任意的,恒有成立,求实数的取值范围

答案

（1）.   （2）
（3）

解析

(I)先求出a₁,然后构造由,再与作差可得,进而确定是等比数列.问题得解.
（II）在（I）问的基础上，采用裂项求和方法求和.
(III) 由恒成立 , 即恒成立
即恒成立 ,必须且只须满足恒成立,然后转化为关于对于一切实数x恒成立即可.
解：（I）由,…………1分
由---------2分
∴数列是等比数列  数列的公比q="2"
所以，数列的通项公式为  …………3分
前项和公式为. ………………………4分
（II）
 ……………………………6分
  ………………………7分
         …………………………………………8分
(Ⅲ)由恒成立    即恒成立
即恒成立 ……………………………………9分
必须且只须满足恒成立 ………………………………10分
即在R上恒成立   ,………………11分
解得.