(1)当≥0时,bn+1-an+1=-an= ; 当<0, bn+1-an+1= bn-= . 所以,总有bn+1-an+1= (bn-an), 又 ,可得 , 所以数列{bn-an}是等比数 列. ………………4分 (2)①由 ,可得 ,故有 , ∴ , ,从而 , 故当n=1时, 成立. ………………6分 ②假设当 时, 成立,即 , 由 ,可得 ,
, 故有 , ∴ , ………………9分
,故有![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012225152-54033.gif) ∴ , ,故![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191012/20191012225153-41222.gif) ∴当 时, 成立. 综合①②可得对一切正整数n,都有 . ………………12分 (3)假设存在 ,使得数列 为常数数列, 由(1)可得bn-an= ()n-1,又 , 故bn= ()n-1, ………………14分 由 恒成立,可知≥0,即 ()n ≥0恒成立, 即2n≤ 对任意的正整数n恒成立, ………………16分 又 是正数,故n≤ 对任意的正整数n恒成立, 因为 是常数,故n≤ 不可能对任意正整数n恒成立. 故不存在 ,使得数列 为常数数列. ………………18分 |