(1)当≥0时,bn+1-an+1=-an= ; 当<0, bn+1-an+1= bn-= . 所以,总有bn+1-an+1= (bn-an), 又,可得, 所以数列{bn-an}是等比数列. ………………4分 (2)①由,可得,故有, ∴,,从而, 故当n=1时,成立. ………………6分 ②假设当时,成立,即, 由,可得, , 故有, ∴, ………………9分 ,故有 ∴, ,故 ∴当时,成立. 综合①②可得对一切正整数n,都有. ………………12分 (3)假设存在,使得数列为常数数列, 由(1)可得bn-an=()n-1,又, 故bn=()n-1, ………………14分 由恒成立,可知≥0,即()n ≥0恒成立, 即2n≤对任意的正整数n恒成立, ………………16分 又是正数,故n≤对任意的正整数n恒成立, 因为是常数,故n≤不可能对任意正整数n恒成立. 故不存在,使得数列为常数数列. ………………18分 |