(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.已知负数和正数,且对任意的正整数n,当≥0时, 有[, ]=[, ];

(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.已知负数和正数,且对任意的正整数n,当≥0时, 有[, ]=[, ];

题型:不详难度:来源:
(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.
已知负数和正数,且对任意的正整数n,当≥0时, 有[, ]=
[, ];当<0时, 有[, ]= [, ].
(1)求证数列{}是等比数列;
(2)若,求证
(3)是否存在,使得数列为常数数列?请说明理由
答案
(1)当≥0时,bn+1-an+1=-an= ;
当<0, bn+1-an+1= bn-= .
所以,总有bn+1-an+1= (bn-an),                      
,可得,                     
所以数列{bn-an}是等比数列.                          ………………4分
(2)①由,可得,故有
,从而
故当n=1时,成立.                           ………………6分
②假设当时,成立,即,      
,可得,                   
, 故有
,                       ………………9分
,故有
, ,故
∴当时,成立.
 综合①②可得对一切正整数n,都有.             ………………12分
(3)假设存在,使得数列为常数数列,
由(1)可得bn-an=()n-1,又
bn=()n-1,                                 ………………14分
恒成立,可知≥0,即()n ≥0恒成立,
即2n对任意的正整数n恒成立,                 ………………16分
是正数,故n对任意的正整数n恒成立,
因为是常数,故n不可能对任意正整数n恒成立.
故不存在,使得数列为常数数列.          ………………18分
解析

举一反三
已知为等差数列的前项和,且,则               
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在等差数列中,已知,则等差数列的公差为          .
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(本小题满分13分)
在等比数列中,已知
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和
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(本小题满分12分)
设数列的各项都为正数,其前项和为,已知对任意的等比中项.
(Ⅰ)证明数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)证明
(Ⅲ)设集合,且,若存在,使对满足的一切正整数,不等式恒成立,求这样的正整数共有多少个?
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(本小题满分12分)
设数列为等差数列,前项和为,已知
(Ⅰ)求 的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和.
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