正项数列满足，（1）若，求的值；（2）当时，证明： ；（3）设数列的前项之积为，若对任意正整数，总有成立，求的取值范围

题型：不详难度：来源：

正项数列满足，
（1）若，求的值；
（2）当时，证明： ；
（3）设数列的前项之积为，若对任意正整数，总有成立，求的取值范围

答案

（1）
（2） ；
（3）实数的取值范围是

解析

（1）因为所以，解得或（舍去）
由的任意性知，   ……………3分
（2）反证法：假设     ……………4分
即，则得
依此类推，这与矛盾。
所以假设不成立，则           ……………7分
（3）由题知，当时，，
所以
同理有
将上述个式子相乘，得，
即 ……………11分
当时，也成立，
所以    ……………12分
从而要使对任意的恒成立，
只要使对任意的恒成立即可。
因为数列单调递增，所以 ……………13分
即
所以实数的取值范围是      
又a>0, 所以实数的取值范围是………14分