（本小题16分）已知数列满足：（为常数），数列中，。（1）求；（2）证明：数列为等差数列；（3）求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数。

题型：不详难度：来源：

（本小题16分）
已知数列满足：（为常数），数列中，。
（1）求；
（2）证明：数列为等差数列；
（3）求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数。

答案

（1）；；
（2）证明见解析
（3）证明见解析

解析

（1）由已知，得，
，。                          ……………………4分
（2），

∴，又，
∴数列是首项为，公差为的等差数列。……………………9分
（3）证明：由⑵知，     ……………………10分
若三个不同的项成等比数列，、、为非负整数，且，则，得，    ……………………12分
若，则，得==，这与矛盾。  …………………14分
若，则，∵、、为非负整数，∴是有理数。………16分