(本题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上。(1)求
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(本题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上。(1)求
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分15分)已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,且
a
n
是
S
n
与2的等差中项,数列{
b
n
}中,
b
1
=1,点P(
b
n
,
b
n+
1
)在直线
x
-
y
+2=0上。
(1)求
a
1
和
a
2
的值;
(2)求数列{
a
n
},{
b
n
}的通项
a
n
和
b
n
;
(3)设
c
n
=
a
n
·
b
n
,求数列{
c
n
}的前n项和
T
n
答案
(1)
a
2
="4" (2)
b
n
=2n-1,
a
n
=2
n
(3)
T
n
=(2
n
-3)2
n
+1
+6
解析
(1)∵
a
n
是
S
n
与2的等差中项
∴
S
n
=2
a
n
-2 ∴
a
1
=
S
1
=2
a
1
-2,解得
a
1
=2
a
1
+
a
2
=
S
2
=2
a
2
-2,解得
a
2
="4 "
(2)∵
S
n
=2
a
n
-2,
S
n
-1
=2
a
n
-1
-2,
又
S
n
—
S
n
-1
=
a
n
,
∴
a
n
=2
a
n
-2
a
n
-1
,
∵
a
n
≠0,
∴
,即数列{
a
n
}是等比数列∵
a
1
=2,∴
a
n
=2
n
∵点
P
(
b
n
,
b
n
+1
)在直线x-y+2=0上,∴
b
n
-
b
n
+1
+2=0,∴
b
n
+1
-
b
n
=2,
即数列{
b
n
}是等差数列,又
b
1
=1,∴
b
n
=2n-1
(3)∵
c
n
=(2
n
-1)2
n
∴
T
n
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+····
a
n
b
n
=1×2+3×2
2
+5×2
3
+····+(2
n
-1)2
n
,
∴2
T
n
=1×2
2
+3×2
3
+····+(2
n
-3)2
n
+(2
n
-1)2
n
+1
因此:-
T
n
=1×2+(2×2
2
+2×2
3
+···+2×2
n
)-(2
n
-1)2
n
+1
,
即:-
T
n
=1×2+(2
3
+2
4
+····+2
n
+1
)-(2
n
-1)2
n
+1
,
∴
T
n
=(2
n
-3)2
n
+1
+6
举一反三
已知数列
是各项均为正整数的等差数列,公差
,且
中任意两项之和也是该数列中的一项.
(1)若
,则
的取值集合为
;
(2)若
,则
的所有可能取值的和为
.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系中,定义
到点
的一个变换为“
”,已知
是经过“
”得到的一列点。设
的值为 ( )
A.
B.2—
C.2+
D.1+
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)
已知数列
(1)试求
a
的取值范围,使得
恒成立;
(2)若
;
(3)若
,求证:
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分13分)
已知首项不为零的数列
的前
项和为
,若对任意的
,
,都有
.
(Ⅰ)判断数列
是否为等差数列,并证明你的结论;
(Ⅱ)若数列
的第
项
是数列
的第
项
,且
,
,求数列
的前
项和
.
题型:不详
难度:
|
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若
为等差数列的连续三项,则
的值为( )
A.2047
B.1062
C.1023
D.531
题型:不详
难度:
|
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