(Ⅰ)∵,,,, ∴;;. ………………3分 (Ⅱ)由题设,对于任意的正整数,都有:, ∴.∴数列是以为首项,为公差的等差数列. ∴. …………………………………………………………7分 (Ⅲ)对于任意的正整数, 当或时,; 当时,; 当时,. ……………………………………8分 证明如下: 首先,由可知时,; 其次,对于任意的正整数, 时,; …………………9分 时,
所以,. …………………10分 时,
事实上,我们可以证明:对于任意正整数,(*)(证明见后),所以,此时,. 综上可知:结论得证. …………………12分 对于任意正整数,(*)的证明如下: 1)当()时, , 满足(*)式。 2)当时,,满足(*)式。 3)当时,
于是,只须证明,如此递推,可归结为1)或2)的情形,于是(*)得证. …………………14分 |