本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识,考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分14分
(Ⅰ)解:由题设有,,解得.由题设又有,,解得. (Ⅱ)解法一:由题设,,,及,,进一步可得,,,,猜想,,. 先证,. 当时,,等式成立.当时用数学归纳法证明如下: (1当时,,等式成立. (2)假设时等式成立,即,. 由题设, ①的两边分别减去②的两边,整理得,从而 . 这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何的成立. 综上所述,等式对任何的都成立 再用数学归纳法证明,. (1)当时,,等式成立. (2)假设当时等式成立,即,那么 . 这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何的都成立. 解法二:由题设 ①的两边分别减去②的两边,整理得,.所以 , , …… ,. 将以上各式左右两端分别相乘,得, 由(Ⅰ)并化简得,. 止式对也成立. 由题设有,所以,即,. 令,则,即.由得,.所以,即,. 解法三:由题设有,,所以 , , …… ,. 将以上各式左右两端分别相乘,得,化简得 ,. 由(Ⅰ),上式对也成立.所以,. 上式对时也成立. 以下同解法二,可得,. (Ⅲ)证明:. 当,时, . 注意到,故 . 当,时, 当,时, . 当,时, . 所以. 从而时,有 总之,当时有,即. |