假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，

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假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.08⁴≈1.36,1.08⁵≈1.47,
1.08⁶≈1.59)

答案

（1）到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米（2）到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%

解析

（1）设中低价房的面积形成的数列为{a_n}，
由题意可知{a_n}是等差数列，
其中a₁=250,d=50,
则a_n=250+(n-1)·50=50n+200
S_n=250n+×50=25n²+225n,
令25n²+225n≥4 750,
即n²+9n-190≥0,而n是正整数，∴n≥10.
∴到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.
（2）设新建住房面积形成数列{b_n}，由题意可知{b_n}是等比数列，其中b₁=400,q=1.08,则b_n=400·(1.08)^n-1.
由题意可知a_n＞0.85b_n,
即50n+200＞400·(1.08)^n-1·0.85.
当n=5时，a₅﹤0.85b₅,
当n=6时，a₆＞0.85b₆,
∴满足上述不等式的最小正整数n为6.
∴到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.