已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，n∈N*且a1、a2、a3、……、an构成一个数列{an}，满足f(1)=n2. （1）求数列{an

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，n∈N^*且a₁、a₂、a₃、……、a_n构成一个数列{a_n}，满足f(1)=n².
（1）求数列{a_n}的通项公式，并求；
（2）证明0＜f()＜1.

答案

（1）（2）证明略

解析

(1)解: {a_n}的前n项和S_n=a₁+a₂+…+a_n=f(1)=n²,
由a_n=S_n–S_n–1=n²–(n–1)²=2n–1(n≥2),又a₁=S₁=1满足a_n=2n–1.
故{a_n}通项公式为a_n=2n–1(n∈N^*)
∴
(2)证明: ∵f()=1·+3·+…+(2n–1)        ①
∴f()=1·+3·+…+(2n–3)+(2n–1)  ②
①–②得:f()=1·+2·+2·+…+2·–(2n–1)·
∴f()=++++…+–(2n–1)=1– 
∵ (n∈N^*)
∴0<<1,∴0<1–<1，即0<f()<1