首项为正数的数列{}满足。(Ⅰ)证明：若 为奇数，则对一切 ， 都是奇数；(Ⅱ)若对一切，都有，求的取值范围。

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首项为正数的数列{}满足。
(Ⅰ)证明：若 为奇数，则对一切 ， 都是奇数；
(Ⅱ)若对一切，都有，求的取值范围。

答案

（Ⅰ）证明见解析。
（Ⅱ）或。

解析

（I）证明：已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，
则由递推关系得是奇数。
根据数学归纳法，对任何，都是奇数。
（II）（方法一）由知，当且仅当或。
另一方面，若则；若，则
根据数学归纳法，
综合所述，对一切都有的充要条件是或。
（方法二）由得于是或。

因为所以所有的均大于0，因此与同号。
根据数学归纳法，，与同号。
因此，对一切都有的充要条件是或。