Ⅰ.解:依题意 ,又由 ,当 时,函数 的图像是斜率为 的线段,故由 ,得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013063553-61999.gif) 又由 ,当 时,函数 的图像是斜率为 的线段,故由 ,即 得 记 由函数 图像中第 段线段的斜率为 ,故得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013063555-80804.gif) 又 ;所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013063555-49888.gif) 由此知数列 为等比数列,其首项为1,公比为 因 得
即 Ⅱ. 解:当 ,从Ⅰ可知 当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013063557-93698.gif) 当 时,即当 时,由Ⅰ可知
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013063558-52898.gif) 为求函数 的定义域,须对 进行讨论. 当 时, ; 当 时, 也趋向于无穷大. 综上,当 时, 的定义域为 ; 当 时, 的定义域为 . Ⅲ. 证法一:首先证明当 , 时,恒有 成立. 用数学归纳法证明: (ⅰ)由Ⅱ知当 时,在 上, ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013063601-77924.gif) 所以 成立 (ⅱ)假设 时在 上恒有 成立. 可得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013063601-95055.gif) 在 上,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013063603-27870.gif) 所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013063603-72732.gif)
也成立. 由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数 在 上都有 成立. 即 时,恒有 . 其次,当 ,仿上述证明,可知当 时,恒有 成立. 故函数 的图像与 的图像没有横坐标大于1的交点. 证法二:首先证明当 , 时,恒有 成立. 对任意的 存在 ,使 ,此时有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013063605-36336.gif) 所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013063605-39167.gif) 又 所以 , 所以 ,即有 成立. 其次,当 ,仿上述证明,可知当 时,恒有 成立. 故函数 的图像与 的图像没有横坐标大于1的交点. |