有n个首项都是1的等差数列,设第m个数列的第k项为amk(m,k=1,2,3,…,n,n≥3),公差为dm,并且a1n,a2n,a3n,…,ann成等差数列.(
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有n个首项都是1的等差数列,设第m个数列的第k项为amk(m,k=1,2,3,…,n,n≥3),公差为dm,并且a1n,a2n,a3n,…,ann成等差数列.(
题型:不详
难度:
来源:
有n个首项都是1的等差数列,设第m个数列的第k项为a
mk
(m,k=1,2,3,…,n,n≥3),公差为d
m
,并且a
1n
,a
2n
,a
3n
,…,a
nn
成等差数列.
(Ⅰ)证明d
m
=p
1
d
1
+p
2
d
2
(3≤m≤n,p
1
,p
2
是m的多项式),并求p
1
+p
2
的值;
(Ⅱ)当d
1
=1,d
2
=3时,将数列d
m
分组如下:(d
1
),(d
2
,d
3
,d
4
),(d
5
,d
6
,d
7
,d
8
,d
9
),…(每组数的个数构成等差数列).设前m组中所有数之和为(c
m
)
4
(c
m
>0),求数列
{
2
c
m
d
m
}
的前n项和S
n
.
(Ⅲ)设N是不超过20的正整数,当n>N时,对于(Ⅱ)中的S
n
,求使得不等式
1
50
(
S
n
-6)>
d
n
成立的所有N的值.
答案
(Ⅰ)由题意知a
mn
=1+(n-1)d
m
.
则a
2n
-a
1n
=[1+(n-1)d
2
]-[1+(n-1)d
1
]=(n-1)(d
2
-d
1
),
同理,a
3n
-a
2n
=(n-1)(d
3
-d
2
),a
4n
-a
3n
=(n-1)(d
4
-d
3
),…,a
nn
-a
(n-1)n
=(n-1)(d
n
-d
n-1
).
又因为a
1n
,a
2n
,a
3n
,a
nn
成等差数列,所以a
2n
-a
1n
=a
3n
-a
2n
=…=a
nn
-a
(n-1)n
.
故d
2
-d
1
=d
3
-d
2
=…=d
n
-d
n-1
,即d
n
是公差为d
2
-d
1
的等差数列.
所以,d
m
=d
1
+(m-1)(d
2
-d
1
)=(2-m)d
1
+(m-1)d
2
.
令p
1
=2-m,p
2
=m-1,则d
m
=p
1
d
1
+p
2
d
2
,此时p
1
+p
2
=1.(4分)
(Ⅱ)当d
1
=1,d
2
=3时,d
m
=2m-1(m∈N
*
).
数列d
m
分组如下:(d
1
),(d
2
,d
3
,d
4
),(d
5
,d
6
,d
7
,d
8
,d
9
),.
按分组规律,第m组中有2m-1个奇数,
所以第1组到第m组共有1+3+5+…+(2m-1)=m
2
个奇数.
注意到前k个奇数的和为1+3+5+…+(2k-1)=k
2
,
所以前m
2
个奇数的和为(m
2
)
2
=m
4
.
即前m组中所有数之和为m
4
,所以(c
m
)
4
=m
4
.
因为c
m
>0,所以c
m
=m,从而
2
c
m
d
m
=(2m-1)•
2
m
(m∈
N
*
)
.
所以S
n
=1•2+3•2
2
+5•2
3
+7•2
4
+…+(2n-3)•2
n-1
+(2n-1)•2
n
.2S
n
=1•2
2
+3•2
3
+5•2
4
+…+(2n-3)•2
n
+(2n-1)•2
n+1
.①
故2S
n
=2+2•2
2
+2•2
3
+2•2
4
+…+2•2
n
-(2n-1)•2
n+1
=2(2+2
2
+2
3
+…+2
n
)-2-(2n-1)•2
n+1
=
2×
2(
2
n
-1)
2-1
-2-(2n-1)•
2
n+1
=(3-2n)2
n+1
-6.②
②-①得:S
n
=(2n-3)2
n+1
+6.(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)得d
n
=2n-1(n∈N
*
),S
n
=(2n-3)2
n+1
+6(n∈N
*
).
故不等式
1
50
(
S
n
-6)>
d
n
,即(2n-3)2
n+1
>50(2n-1).
考虑函数f(n)=(2n-3)2
n+1
-50(2n-1)=(2n-3)(2
n+1
-50)-100.
当n=1,2,3,4,5时,都有f(n)<0,即(2n-3)2
n+1
<50(2n-1).
而f(6)=9(128-50)-100=602>0,
注意到当n≥6时,f(n)单调递增,故有f(n)>0.
因此当n≥6时,(2n-3)2
n+1
>50(2n-1)成立,即
1
50
(
S
n
-6)>
d
n
成立.
所以,满足条件的所有正整数N=6,7,…,20.(14分)
举一反三
设数列{a
n
}的前几项和S
n
=n
2
+n+1,则数列{a
n
}是( )
A.等差数列
B.等比数列
C.从第二项起是等比数列
D.从第二项起是等差数列
题型:不详
难度:
|
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在-1,7之间插入三个数,使它们顺次成等差数列,则这三个数分别是______.
题型:不详
难度:
|
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若两等差数列{a
n
}、{b
n
}前n项和分别为A
n
、B
n
,满足
A
n
B
n
=
7n+1
4n+27
(n∈
N
+
)
,则
a
11
b
11
的值为( )
A.
7
4
B.
3
2
C.
4
3
D.
78
71
题型:不详
难度:
|
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已知{a
n
}为等差数列,若a
1
+a
5
+a
9
=8π,则cos(a
3
+a
7
)的值为( )
A.
-
1
2
B.
-
3
2
C.
1
2
D.
3
2
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,a
1
+a
3
=10,a
4
+a
6
=4,则公差d等于( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
题型:不详
难度:
|
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