有n个首项都是1的等差数列,设第m个数列的第k项为amk(m,k=1,2,3,…,n,n≥3),公差为dm,并且a1n,a2n,a3n,…,ann成等差数列.(

有n个首项都是1的等差数列,设第m个数列的第k项为amk(m,k=1,2,3,…,n,n≥3),公差为dm,并且a1n,a2n,a3n,…,ann成等差数列.(

题型:不详难度:来源:
有n个首项都是1的等差数列,设第m个数列的第k项为amk(m,k=1,2,3,…,n,n≥3),公差为dm,并且a1n,a2n,a3n,…,ann成等差数列.
(Ⅰ)证明dm=p1d1+p2d2(3≤m≤n,p1,p2是m的多项式),并求p1+p2的值;
(Ⅱ)当d1=1,d2=3时,将数列dm分组如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),…(每组数的个数构成等差数列).设前m组中所有数之和为(cm4(cm>0),求数列{2cmdm}的前n项和Sn
(Ⅲ)设N是不超过20的正整数,当n>N时,对于(Ⅱ)中的Sn,求使得不等式
1
50
(Sn-6)>dn
成立的所有N的值.
答案
(Ⅰ)由题意知amn=1+(n-1)dm
则a2n-a1n=[1+(n-1)d2]-[1+(n-1)d1]=(n-1)(d2-d1),
同理,a3n-a2n=(n-1)(d3-d2),a4n-a3n=(n-1)(d4-d3),…,ann-a(n-1)n=(n-1)(dn-dn-1).
又因为a1n,a2n,a3n,ann成等差数列,所以a2n-a1n=a3n-a2n=…=ann-a(n-1)n
故d2-d1=d3-d2=…=dn-dn-1,即dn是公差为d2-d1的等差数列.
所以,dm=d1+(m-1)(d2-d1)=(2-m)d1+(m-1)d2
令p1=2-m,p2=m-1,则dm=p1d1+p2d2,此时p1+p2=1.(4分)
(Ⅱ)当d1=1,d2=3时,dm=2m-1(m∈N*).
数列dm分组如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),.
按分组规律,第m组中有2m-1个奇数,
所以第1组到第m组共有1+3+5+…+(2m-1)=m2个奇数.
注意到前k个奇数的和为1+3+5+…+(2k-1)=k2
所以前m2个奇数的和为(m22=m4
即前m组中所有数之和为m4,所以(cm4=m4
因为cm>0,所以cm=m,从而2cmdm=(2m-1)•2m(m∈N*)
所以Sn=1•2+3•22+5•23+7•24+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n.2Sn
=1•22+3•23+5•24+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1.①
故2Sn=2+2•22+2•23+2•24+…+2•2n-(2n-1)•2n+1=2(2+22+23+…+2n)-2-(2n-1)•2n+1=
2(2n-1)
2-1
-2-(2n-1)•2n+1
=(3-2n)2n+1-6.②
②-①得:Sn=(2n-3)2n+1+6.(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)得dn=2n-1(n∈N*),Sn=(2n-3)2n+1+6(n∈N*).
故不等式
1
50
(Sn-6)>dn
,即(2n-3)2n+1>50(2n-1).
考虑函数f(n)=(2n-3)2n+1-50(2n-1)=(2n-3)(2n+1-50)-100.
当n=1,2,3,4,5时,都有f(n)<0,即(2n-3)2n+1<50(2n-1).
而f(6)=9(128-50)-100=602>0,
注意到当n≥6时,f(n)单调递增,故有f(n)>0.
因此当n≥6时,(2n-3)2n+1>50(2n-1)成立,即
1
50
(Sn-6)>dn
成立.
所以,满足条件的所有正整数N=6,7,…,20.(14分)
举一反三
设数列{an}的前几项和Sn=n2+n+1,则数列{an}是(  )
A.等差数列B.等比数列
C.从第二项起是等比数列D.从第二项起是等差数列
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在-1,7之间插入三个数,使它们顺次成等差数列,则这三个数分别是______.
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若两等差数列{an}、{bn}前n项和分别为An、Bn,满足
An
Bn
=
7n+1
4n+27
(n∈N+)
,则
a11
b11
的值为(  )
A.
7
4
B.
3
2
C.
4
3
D.
78
71
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已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=8π,则cos(a3+a7)的值为(  )
A.-
1
2
B.-


3
2
C.
1
2
D.


3
2
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在等差数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=4,则公差d等于(  )
A.1B.-1C.2D.-2
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