设数列{an}的前n项和为Sn,a1=10,an+1=9Sn+10.(1)求证:{lgan}是等差数列;(2)设Tn是数列{3(lgan)(lgan+1)}的前
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设数列{an}的前n项和为Sn,a1=10,an+1=9Sn+10.(1)求证:{lgan}是等差数列;(2)设Tn是数列{3(lgan)(lgan+1)}的前
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,a
1
=10,a
n+1
=9S
n
+10.
(1)求证:{lga
n
}是等差数列;
(2)设
T
n
是数列{
3
(lg
a
n
)(lg
a
n+1
)
}的前n项和,求使
T
n
>
1
4
(
m
2
-5m)
对所有的n∈N
*
都成立的最大正整数m的值.
答案
(1)依题意,
a
2
=9
a
1
+10=100,故
a
2
a
1
=10
,
当n≥2时,a
n
=9S
n-1
+10①又a
n+1
=9S
n
+10②
②-①整理得:
a
n+1
a
n
=10,故{
a
n
}
为等比数列,
且a
n
=a
1
q
n-1
=10
n
,∴lga
n
=n∴lga
n+1
-lga
n
=(n+1)-n=1,
即{lga
n
}n∈N
*
是等差数列.
(2)由(1)知,
T
n
=3(
1
1•2
+
1
2•3
++
1
n(n+1)
)
=
3(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
++
1
n
-
1
n+1
)=3-
3
n+1
∴
T
n
≥
3
2
,
依题意有
3
2
>
1
4
(
m
2
-5m),解得-1<m<6
,
故所求最大正整数m的值为5.
举一反三
设{a
n
},{b
n
}都是等差数列,且a
1
=25,b
1
=75,a
2
+b
2
=100,则a
39
+b
39
( )
A.0
B.100
C.37
D.-37
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,若lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,且三个内角,A,B,C也成等差数列,则三角形的形状为______.
题型:不详
难度:
|
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设{a
n
}为等差数列,a
1
>0,a
6
+a
7
>0,a
6
•a
7
<0则使S
n
>0成立的最大的n为( )
A.11
B.12
C.13
D.14
题型:不详
难度:
|
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已知△ABC中,a,b,c成等差数列,公差d=1,3b=20ccosC,则sinA:sinB:sinC=( )
A.2:3:4
B.5:6:7
C.3:4:5
D.4:5:6
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且
a
n
=
S
n
•
S
n-1
(n≥2,
S
n
≠0),
a
1
=
2
9
.
(Ⅰ)求证:数列
{
1
S
n
}
为等差数列;
(Ⅱ)求满足a
n
<0的自然数n的集合.
题型:不详
难度:
|
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