已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=Sn•Sn-1(n≥2，Sn≠0)，a1=29．（Ⅰ）求证：数列{1Sn}为等差数列；（Ⅱ）求满足an＜0的自然数n的

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且an=Sn•Sn-1(n≥2，Sn≠0)，a1=

2

9

．
（Ⅰ）求证：数列{

1

Sn

}为等差数列；
（Ⅱ）求满足a_n＜0的自然数n的集合．

答案

（Ⅰ）证明：∵S_n-S_n-1=a_n，a_n=S_n•S_n-1
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=

Sn-1-Sn

SnSn-1

=-1∵S₁=a₁=

2

9

∴所以数列{

1

Sn

}是公差为-1，首项为

2

9

的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

1

Sn

=-n+

11

9

=

11-9n

9

∴Sn=

9

11-9n

∴an=Sn•Sn-1=

81

(11-9n)(20-9n)

令a_n＜0，即

81

(11-9n)(20-9n)

＜0
∴

11

9

＜n＜

20

9

∴n=2
∴解集为：{2}