(1)当n≥2时,有 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =a1+b1+b2+…+bn-1 =2×1+2×2+…+2×(n-1) =2×=n2-n,又当n=1时此式也成立. ∴数列{an}的通项为an=n2-n. (2)∵bn+1+bn-1=bn(n≥2), ∴对任意的n∈N*有bn+6=bn+5-bn+4=-bn+3=bn+1-bn+2=bn, ∴数列{bn}是一个以6为周期的循环数列 又∵b1=1,b2=2, ∴b3=b2-b1=1,b4=b3-b2=-1,b5=b4-b3=-2,b6=b5-b4=-1. ∴cn+1-cn=a6n+5-a6n-1=a6n+5-a6n+4+a6n+4-a6n+3+…+a6n-a6n-1 =b6n+4+b6n+3+b6n+2+b6n+1+b6n+b6n-1=b4+b3+b2+b1+b6+b5 =-1+1+2+1-1+-2=0(n≥1), 所以数列{cn}为常数列. (3)∵bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=1,b2=2, ∴b3=2,b4=1,b5=,b6=, 且对任意的n∈N*,有bn+6====bn, 设cn=a6n+i(n≥0),(其中i为常数且i∈{1,2,3,4,5,6}, ∴cn+1-cn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5 =b1+b2+b3+b4+b5+b6 =1+2+2+1++=7(n≥0). 所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列. 记fn=,则fk====+, (其中n=6k+i,k≥0,i为{1,2,3,4,5,6}中的一个常数), 当ai=时,对任意的n=6k+i有=; 当ai≠时,fk+1-fk=- =(ai-)(-) =(ai-), ①若ai>,则对任意的k∈N有fk+1<fk,数列{}为单调减数列; ②若ai<,则对任意的k∈N有fk+1>fk,数列{}为单调增数列; 综上,当ai=且i∈{1,2,3,4,5,6}时,数列{}中必有某数重复出现无数次 当i=1时,a1=符合要求;当i=2时,a2==符合要求, 此时的a1=a2-b1=; 当i=3时,a3==符合要求, 此时的a2=a3-b2=,a1=a2-b1=; 当i=4时,a4==符合要求, 此时的a1=a4-b3-b2-b1=-; 当i=5时,a5==符合要求, 此时的a1=a5-b4-b3-b2-b1=-; 当i=6时,a6==7符合要求, 此时的a1=a6-b5-b4-b3-b2-b1=; 即当a1∈{,,,-,-}时, 数列{}中必有某数重复出现无数次. |