在数列{an}中，a1=1 ，   an=2S22Sn-1  (n≥2)．证明数列{1sn}是等差数列，并求出Sn的表达式．

题型：不详难度：来源：

在数列{a_n}中，a1=1 ，   an=

2S2

2Sn-1

  (n≥2)．证明数列{

1

sn

}是等差数列，并求出S_n的表达式．

答案

证明：∵a_n=S_n-S_n-1，an=

2S2

2Sn-1

 (n≥2)
∴Sn-Sn-1=

2 S 2n

2Sn-1

  (n≥2)．
化简，得S_n-1-S_n=2S_n S_n-1
两边同除以S_n S_n-1，得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2  (n≥2)．
∴数列{

1

Sn

}是以

1

a1

=

1

S1

=1为首项，2为公差的等差数列．
∴

1

Sn

=1+(n-1) 2=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

．