设数列{an} 的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求证:数列

设数列{an} 的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求证:数列

题型:不详难度:来源:
设数列{an} 的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差数列.
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)求证:数列{an+2n}是等比数列
(3)证明:对一切正整数n,有
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
3
2
答案
(1)因为a1,a2+5,a3成等差数列,所以a1+a3=2(a2+5),①,
当n=1时,2a1=a2-3,②
当n=2时,2(a1+a2)=a3-7,③
所以联立①②③解得,a1=1,a2=5,a3=19.
(2)由2sn=an+1-2n+1+1,①得2sn-1=an-2n+1(n≥2),②,
两式相减得2an=an+1-an_2n(n≥2),所以
an+1+2n+1
an+2n
=
3an+2n+2n+1
an+2n
=3(n≥2)

因为
a2+22
a1+2
=3
,所以{an+2n}是首项为3,公比为3的等比数列.所以an+1+2n+1=3(an+2n),又a1=1,a1+21=3,
所以an+2n=3n,即an=3n-2n

(3)因为an+1=3n+1-2n+1>2×3n-2n+1=2an,所以
1
an+1
1
2
1
an

所以当n≥2时,
1
a3
1
2
1
a2
1
a4
1
2
1
a3
1
an
1
2
1
an-1
,两边同时相乘得
1
an
(
1
2
)
n-2
1
a2

所以
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≤1+
1
5
+
1
2
×
1
5
+…+(
1
2
)
n-2
×
1
5
7
5
3
2
举一反三
设{an}是等差数列,且a7+a8+a9=15,则其前15项和S15=(  )
A.15B.45C.75D.105
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已知等差数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=n2+2n+a(n∈N*),则实数a=______.
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设等差数列{an}满足:公差d∈N*,an∈N*,且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项.若a1=35,则d的所有可能取值之和为______.
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已知数列{an}的前n项和Sn=1-kan(k>0,n∈N*).
(1)用n、k表示an
(2)数列{bn}对n∈N*均有(bn+1-bn+2)lga1+(bn+2-bn)lga3+(bn-bn+1)lga5=0,求证:数列{bn}为等差数列;
(3)在(1)、(2)中,设k=1,bn=n+1,xn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,求证:xn<3.
题型:不详难度:| 查看答案
老师在黑板上按顺序写了4个数构成一个数列,四个同学各指出这个数列的一个特征:
张三说:前3项成等差数列;李四说:后3项成等比数列;
王五说:4个数的和是24;马六说:4个数的积为24;
如果其中恰有三人说的正确,请写出一个这样的数列______.
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