在数列{an}中，若an2-an-12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{an}是等方差数列，

题型：德阳二模难度：来源：

在数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^×，p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
①若{a_n}是等方差数列，则{a_n²}是等差数列；
②{（-1）ⁿ}是等方差数列；
③若{a_n}是等方差数列，则{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是等方差数列；
④若{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为______．（将所有正确的命题序号填在横线上）

答案

①因为{a_n}是等方差数列，所以a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^×，p为常数）成立，
得到{a_n²}为首项是a₁²，公差为p的等差数列；
②因为a_n²-a_n-1²=（-1）²ⁿ-（-1）^2n-1=1-（-1）=2，所以数列{（-1）ⁿ}是等方差数列；
③数列{a_n}中的项列举出来是：a₁，a₂，…，a_k，a_k+1，a_k+2，…，a_2k，…，a_3k，…
数列{a_kn}中的项列举出来是：a_k，a_2k，a_3k，…
因为a_k+1²-a_k²=a_k+2²-a_k+1²=a_k+3²-a_k+2²=…=a_2k²-a_k²=p
所以（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+（a_k+3²-a_k+2²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=a_2k²-a_k²=kp，
类似地有a_kn²-a_kn-1²=a_kn-1²-a_kn-2²=…=a_kn+3²-a_kn+2²=a_kn+2²-a_kn+1²=a_kn+1²-a_kn²=p
同上连加可得a_kn+1²-a_kn²=kp，所以，数列{a_kn}是等方差数列；
④{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，所以a_n²-a_n-1²=p，且a_n-a_n-1=d（d≠0），所以a_n+a_n-1=

p

d

，联立解得a_n=

d

2

+

p

2d

，
所以{a_n}为常数列，当d=0时，显然{a_n}为常数列，所以该数列为常数列．
综上，正确答案的序号为：①②③④
故答案为：①②③④