在两个各项均为正数的数列an、bn(n∈N*)中,已知an、bn2、an+1成等差数列,并且bn2、an+1、bn+12成等比数列.(Ⅰ)证明:数列bn是等差数
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在两个各项均为正数的数列an、bn(n∈N*)中,已知an、bn2、an+1成等差数列,并且bn2、an+1、bn+12成等比数列. (Ⅰ)证明:数列bn是等差数列; (Ⅱ)若a1=2,a2=6,设cn=(an-n2)•qbn(q>0为常数),求数列cn的前n项和Sn |
答案
(I)由题意知 | 2bn2=an+an+1 | an+12=bn2•bn+12 |
| | , 又∵数列an、bn各项都是正数,∴an+1=bnbn+1,则an=bn-1bn 代入2bn2=an+an+1,得2bn2=bn-1bn+bnbn+1 即2bn=bn-1+bn+1,所以数列bn是等差数列.
(II)∵a1=2,a2=6,又2bn2=an+an+1,得2b12=a1+a2=8,解得b1=2 又∵a2=b1b2=6∴b2=3,由(I)知数列bn是等差数列,则公差d=b2-b1=1 ∴bn=b1+(n-1)d=2+n-1=n+1, 又an=bn-1bn,得an=n(n+1)=n2+n, ∴cn=(an-n2)•qbn=nqn+1, 则当q=1时,cn=n,此时Sn=; 当q≠1时,Sn=c1+c2++cn=1×q2+2×q3++nqn+1,① 所以qSn=qc1+qc2++qcn=1×q3+2×q4++nqn+2② 由①-②,得(1-q)Sn=q2+q3+qn+1-nqn+2=-nqn+2, 即Sn=- 综上可知,Sn= |
举一反三
已知数列{an}为等差数列,a1+a2+a3=6,a7+a8+a9=24,则a4+a5+a6=______. |
设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S3与S4的等比中项为S5,已知S3与S4的等差中项为1. (1)求等差数列{an}的通项; (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. |
等差数列{an}满足条件a3=4,公差d=-2,则a2+a6等于( ) |
已知{an}为等差数列,a2+a4+a15是一个确定的常数,则下列各项中也是常数的是( ) |
已知两个等差数列{an}和{bn}的前n和分别为An和Bn,且=,则=______. |
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