已知等差数列{an}的第二项为8,前10项之和为185,从{an}中依次取出第2项,第4项,第8项,┅,第2n项,┅,按原来的顺序排成一个新的数列{bn}.(1
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已知等差数列{an}的第二项为8,前10项之和为185,从{an}中依次取出第2项,第4项,第8项,┅,第2n项,┅,按原来的顺序排成一个新的数列{bn}. (1)求数列{bn}的前n项的和Sn; (2)设Tn=n(9+an),试比较Sn和Tn的大小,并证明你的结论. |
答案
(1)由a2=8,S10=185可得 ∴d=3,a1=5∴an=3n+2 ∵bn=a2n=3•2n+2 ∴Sn=3(21+22+…+2n)+2+2+…+2=+2n=3•2n+1+2n-6 (2)∵Tn=n(9+an)=n(3n+11) 当n=1时,S1=8T1=14,S1<T1 当n=2,S2=22<T2=34 当n=3,S3=48<T3=60 当n=4,S4=98>T4=92 当n=5,S5=196>T5=130 随着n的增大,Sn,Tn都增加,但是Sn比Tn增加的速度快 故猜想当1≤n≤3,Sn<Tn 当n≥4,Sn>Tn 下面用归纳法证明n≥4时,Sn>Tn ①当n=4时由上述可知命题成立 ②假设当n=k(k≥4)时Sk>Tk,即6•2k+2k-6>3k2+11k ∴3.21+k>k2+3k+2)×3 6•2k+1>6k2+18k+12=3(k+1)2+11(k+1)+(3k2+3k-6)>3(k+1)2+11(k+1) 当n=k+1时,命题成立,当n≥4时,都有Sn>Tn 综上可得,当n≥4时,Sn>Tn,当1≤n≤3时,Sn<Tn |
举一反三
设Sn是等差数列{an}的前n项和,S3=3(a2+a8),则的值为( ) |
等比数列{an}的公比为q,第8项是第2项与第5项的等差中项. (1)求公比q; (2)若{an}的前n项和为Sn,判断S3,S9,S6是否成等差数列,并说明理由. |
已知等差数列{an}的公差d不为零,它的前n项和为Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},若以A中元素作为点的坐标,这些点都在同一条直线上,那么这条直线的斜率为( ) |
已知数列{an}是等差数列,a2=3,a4+a5+a6=27,Sn为数列{an}的前n项和 (1)求an和Sn; (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. |
已知等差数列{an}中,a5+a9=2,则S13=( ) |
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