已知数列a1,a2,…a30,其中a1,a2,…a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…a30是公
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已知数列a1,a2,…a30,其中a1,a2,…a10是首项为1,公差为1的等差数列;a10,a11,…a20是公差为d的等差数列;a20,a21,…a30是公差为d2的等差数列(d≠0). (1)若a20=40,求d; (2)试写出a30关于d的关系式,并求a30的取值范围; (3)续写已知数列,使得a30,a31,…a40是公差为d3的等差数列,…,依此类推,把已知数列推广为无穷数列.试写出a10(n+1)关于d的关系式,并求当公差d>0时a10(n+1)的取值范围. |
答案
(1)∵a10=10,a20=10+10d=40 ∴d=3.(2分) (2)a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0),(4分) =10[(d+)2+],(6分) 当d∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈[7.5,+∞).(8分) (3)所给数列可推广为无穷数列{an},其中a1,a2…a10是首项为1, 公差为1的等差数列,当n≥1时,数列a10n,a10n+1,…a10(n+1)是公差为dn的等差数列.(10分) 由a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3), 依此类推可得a10(n+1)=10(1+d+…+dn)=(12分) 当d>0时,a10(n+1)的取值范围为(10,+∞).(13分) |
举一反三
等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=1,S2n=3,则S3n=______. |
在等差数列{an}中,当a2+a9=2时,它的前10项和S10=______. |
若某一等差数列的首项为-,公差为(-)m展开式中的常数项,其中m是7777-15除以19的余数,则此数列前多少项的和最大?并求出这个最大值. |
设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的公比q; (Ⅱ)求证:a3,a9,a6成等差数列; (Ⅲ)当am,as,(m,s,t∈[1,10],m,s,t互不相等)成等差数列时,求m+s+t的值. |
某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政府,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变成a2(1+r)n-2,….以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额. (Ⅰ)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式; (Ⅱ)求证Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列. |
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