已知数列{an}是首项a1=133,公比q=133的等比数列,设bn+15log3an=t,常数t∈N*,数列{cn}满足cn=anbn.(1)求证:{bn}是

已知数列{an}是首项a1=133,公比q=133的等比数列,设bn+15log3an=t,常数t∈N*,数列{cn}满足cn=anbn.(1)求证:{bn}是

题型:宝山区一模难度:来源:
已知数列{an}是首项a1=
1
33

,公比q=
1
33

的等比数列,设bn+15log3an=t,常数t∈N*,数列{cn}满足cn=anbn
(1)求证:{bn}是等差数列;
(2)若{cn}是递减数列,求t的最小值;
(3)是否存在正整数k,使ck,ck+1,ck+2重新排列后成等比数列?若存在,求k,t的值;若不存在,说明理由.
答案
(1)由题意知,an=(
1
33

)n
,(1分)
因为bn+1-bn=-15log3(
an+1
an
)=5
,b1=-15log3a1+t=t+5
∴数列bn是首项为b1=t+5,公差d=5的等差数列.(4分)
(2)由(1)知,bn=5n+t,cn=(5n+t)(
1
33

)n
cn+1-cn=(
5n+5+t
33

-5n-t)(
1
33

)n<0
恒成立,即t>-5n+
5
33

-1
恒成立,(7分)
因为f(n)=-5n+
5
33

-1
是递减函数,
所以,当n=1时取最大值,f(n)max=-5+
5
33

-1
≈6.3
,(9分)
因而t>6.3,因为t∈N,所以t=7.(10分)
(3)记5k+t=x,ck=(5k+t)(
1
33

)k=x(
1
33

)k
ck+1=(5k+5+t)(
1
33

)k+1=(x+5)(
1
33

)k+1
ck+2=(5k+10+t)(
1
33

)k+2=(x+10)(
1
33

)k+2

①若ck是等比中项,则由ck+1•ck+2=ck2(x+5)(
1
33

)k+1•(x+10)(
1
33

)k+2=x2(
1
33

)2k
化简得2x2-15x-50=0,解得x=10或x=-
5
2
(舍),(11分)
所以5n+t=10,因而





k=1
t=5





k=2
t=0

又由常数t∈N*,则





k=2
t=0
舍去,
②若ck+1是等比中项,则由ck•ck+2=ck+12x(
1
33

)k•(x+10)(
1
33

)k+2=(x+5)2(
1
33

)2k+2

化简得x(x+10)=(x+5)2,显然不成立.(16分)
③若ck+2是等比中项,则由ck•ck+1=ck+22x(
1
33

)k•(x+5)(
1
33

)k+1=(x+10)2(
1
33

)2k+4

化简得2x2-5x-100=0,因为△=52+4×2×100=25×33不是完全不方数,因而x的值是无理数,显然不成立.
则符合条件的k、t的值为





k=1
t=5
.(18分)
举一反三
等差数列{an}有两项am=
1
k
,ak=
1
m
,则该数列前mk项之和是______.
题型:不详难度:| 查看答案
等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为(  )
A.20B.22C.24D.-8
题型:湖北模拟难度:| 查看答案
若{an}是各项均不为零的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足
a2n
=S2n-1
,n∈N*.数列{bn}满足bn=
1
anan+1
,Tn为数列{bn}的前n项和.
(Ⅰ)求an和Tn
(Ⅱ)若对一切正整数n,Tn≥λ•(
1
2
)n
恒成立,求λ的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=2-
1
x
a1=
3
2
,an+1=f(an)(n∈N*).
(1)计算a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式(不用证明);
(2)试证明:对任意n∈N*,a1,an
1
an
不可能成等差数列.
题型:不详难度:| 查看答案
已知实数a、b、c满足2a=3,2b=6,2c=12,那么实数a、b、c是(  )
A.等差非等比数列B.等比非等差数列
C.既是等比又是等差数列D.既非等差又非等比数列
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.