已知函数f(x)满足下列条件:(Ⅰ)定义域为[0,1];(Π)对于任意x∈[0,1],f(x)≥0,且f(1)=1;(Ⅲ)当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)满足下列条件: (Ⅰ)定义域为[0,1]; (Π)对于任意x∈[0,1],f(x)≥0,且f(1)=1; (Ⅲ)当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立. (1)求f(0)的值; (2)证明:对于任意的0≤x≤y≤1,都有f(x)≤f(y)成立; (3)当0≤x≤1时,探究f(x)与2x的大小关系,并证明你的结论. |
答案
(1)由函数f(x)满足条件(Π)知f(0)≥0;(1分) 在条件(Ⅲ)中,令x1=x2=0得:f(0)≥f(0)+f(0), ∴f(0)≤0;(3分) 故f(0)=0.(4分)
(2)证明:对于任意的0≤x≤y≤1,有0≤y-x≤1成立;(5分) 由f(x)满足条件(Π)可得:f(y-x)≥0;(6分) 再由f(x)满足条件(Ⅲ)可得: f(y)=f[(y-x)+x]≥f(y-x)+f(x)≥f(x),(8分) 即对于任意的0≤x≤y≤1,都有f(x)≤f(y)成立;(9分)
(3)当≤x≤1时,2x≥1, 由第(2)问结论知f(x)≤f(1)=1,∴f(x)≤2x; 当x=0时,由f(0)=0知f(x)≤2x也成立; 故可猜想:当0≤x≤1时,f(x)≤2x(10分) 下面用反证法证明猜想成立: 假设存在x°∈[0,1],使得f(x0)>2x0, 由f(0)=0知x0≠0,故必存在正整数k 使得x0∈[,],∴x0,2x0,4x0,,2k-1x0均在[0,1上, 由条件(Ⅲ)及假设知: f(2x0)=f(x0+x0)≥f(x0)+f(x0)=2f(x0)>4x0, 故f(4x0)>8x0,,f(2k-1x0)>2kx0;(12分) ∵x0∈[,],∴≤2k-1x0≤1,∴f(2k-1x0)≤f(1)=1 又∵2kx0≥1,f(2k-1x0)>2kx0, ∴f(2k-1x0)>1,与f(2k-1x0)≤1矛盾,故假设不成立; 所以对于任意的0≤x≤1,都有f(x)≤2x成立.(14分) |
举一反三
已知函数y=f(x),x∈R,有下列4个命题: ①若f(1+2x)=f(1-2x),则f(x)的图象关于直线x=1对称; ②f(x-2)与f(2-x)的图象关于直线x=2对称; ③若f(x)为偶函数,且f(2+x)=-f(x),则f(x)的图象关于直线x=2对称; ④若f(x)为奇函数,且f(x)=f(-x-2),则f(x)的图象关于直线x=1对称. 其中正确的命题为______. |
设f(x)= | -log3(x+1)(x>6) | 3x-6-1(x≤6) |
| | 满足f(n)=-,则f(n+4)=( ) |
已知函数f(x)=,若数列{an}满足a1=3,an+1=f(an),n∈N*,数列{an}前n项和为Sn,则S2010-2S2009+S2008=( ) |
设R上的可导函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy(x,y∈R),且f"(1)=2,则方程f"(x)=0的根为______. |
已知函数y=f(x)的图象过点(-2,-3),且满足f(x-2)=ax2-(a-3)x+(a-2),设g(x)=f[f(x)],F(x)=pg(x)-4f(x) (I)求f(x)的表达式; (Ⅱ)是否存在正实数p,使F(x)在(-∞,f(2))上是增函数,在(f(2),0)上是减函数?若存在,求出p;若不存在,请说明理由. |
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