若{an}是各项均不为零的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an•an+1,Tn为数列{bn}的

若{an}是各项均不为零的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an•an+1,Tn为数列{bn}的

题型:不详难度:来源:
若{an}是各项均不为零的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足
a2n
=S2n-1
,n∈N*.数列{bn}满足bn=
1
anan+1
,Tn为数列{bn}的前n项和.
(Ⅰ)求an和Tn
(Ⅱ)若对一切正整数n,Tn≥λ•(
1
2
)n
恒成立,求λ的取值范围.
答案
(Ⅰ)在
a2n
=S2n-1
中,
令n=1,可得a12=s1=a1
n=2,可得a22=s3=a1+a2+a3
∴a1=1,a22=a1+a2+a3,a1=1,
a1+a1+d+a1+2d=(a1+d)2
解得,d=2,
从而an=a1+(n-1)×d=2n-1,…(4分)
bn=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

于是Tn=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]=
n
2n+1
.…(8分)
(Ⅱ)λ≤
n
2n+1
2n

cn=
n
2n+1
2n

cn+1-cn=
n+1
2n+3
2n+1-
n
2n+1
2n

=
2n2+3n+2
(2n+1)(2n+3)
2n>0
,…(12分)
于是{cn}是单调递增数列,(cn)min=c1=
2
3

λ≤
2
3
.…(14分)
举一反三
已知函数f(x)=2-
1
x
a1=
3
2
,an+1=f(an)(n∈N*).
(1)计算a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式(不用证明);
(2)试证明:对任意n∈N*,a1,an
1
an
不可能成等差数列.
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已知实数a、b、c满足2a=3,2b=6,2c=12,那么实数a、b、c是(  )
A.等差非等比数列B.等比非等差数列
C.既是等比又是等差数列D.既非等差又非等比数列
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已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a11=0,则有(  )
A.a1+a11>0B.a2+a10<0C.a3+a9=0D.a6=6
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等差数列{an}中,Sn是前n项和,a1=-2010,
S2007
2007
-
S2005
2005
=2
,则S2013的值为______.
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等差数列{an}中,
an
a2n
是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为(  )
A.1B.{1,
1
2
}
C.{
1
2
}
D.{0,
1
2
,1}
题型:福建模拟难度:| 查看答案
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