已知数列{an}满足:a1=3,an=2an-1+2n-1(n∈N*,n≥2),且存在实数λ使得{an+λ2n}为等差数列,则{an}的通项公式是an=____
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已知数列{an}满足:a1=3,an=2an-1+2n-1(n∈N*,n≥2),且存在实数λ使得{an+λ2n}为等差数列,则{an}的通项公式是an=____
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}满足:a
1
=3,
a
n
=2
a
n-1
+
2
n
-1
(n∈N*,n≥2),且存在实数λ使得
{
a
n
+λ
2
n
}
为等差数列,则{a
n
}的通项公式是a
n
=______.
答案
假设存在一个实数λ符合题意,则
a
n
+λ
2
n
-
a
n-1
+λ
2
n-1
必为与n无关的常数
∵
a
n
+λ
2
n
-
a
n-1
+λ
2
n-1
=
a
n
-2
a
n-1
-λ
2
n
=
2
n
-1-λ
2
n
=1-
1+λ
2
n
①
要使
a
n
+λ
2
n
-
a
n-1
+λ
2
n-1
是与n无关的常数,则
1+λ
2
n
=0
,得λ=-1
故存在一个实数λ=-1,使得数列
{
a
n
+λ
2
n
}
为等差数列
由①知数列
{
a
n
+λ
2
n
}
的公差d=1,
∴
a
n
-1
2
n
=
a
1
-1
2
1
+(n-1)•1=n.
得a
n
=n•2
n
+1
故答案为:n•2
n
+1.
举一反三
等差数列{a
n
}中,S
20
=30,则a
3
+a
18
=______.
题型:虹口区二模
难度:
|
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已知不等式x
2
-2x-3<0的整数解构成等差数列{a
n
},则数列{a
n
}的第四项为( )
A.3
B.-1
C.2
D.3或-1
题型:不详
难度:
|
查看答案
若等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足
S
n
S
2n
为常数,则称该数列为S数列.
(Ⅰ)判断a
n
=4n-2是否为S数列?并说明理由;
(Ⅱ)若首项为a
1
的等差数列{a
n
}(a
n
不为常数)为S数列,试求出其通项公式.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
}中,a
4
=9,a
9
=-6,S
n
是其前n项和,以下命题正确的是______
①S
6
=S
7
;②{a
n
}是递减数列;③S
7
=S
8
;④S
5
=S
7
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,满足
a
n
+
S
n
=3-
8
2
n
,设
b
n
=
2
n
•
a
n
.
(1)求证:数列{b
n
}是等差数列,并求出数列{a
n
}的通项公式;
(2)求数列{a
n
•b
n
}中最大项;
(3)求证:对于给定的实数λ,一定存在正整数k,使得当n≥k时,不等式λS
n
<b
n
恒成立.
题型:江苏一模
难度:
|
查看答案
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