已知数列{an}满足an+1=2an+n+1(n=1,2,3,…).(1)若{an}是等差数列,求其首项a1和公差d;(2)证明{an}不可能是等比数列;(3)
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已知数列{an}满足an+1=2an+n+1(n=1,2,3,…). (1)若{an}是等差数列,求其首项a1和公差d; (2)证明{an}不可能是等比数列; (3)若a1=-1,是否存在实数k和b使得数列{ an+kn+b}是等比数列,如存在,求出{an}的前n项和,若不存在,说明理由. |
答案
(1)∵an+1=2an+n+1,∴a2=2a1+2,a3=2a2+3=4a1+7, ∵{an}是等差数列,∴2a2=a1+a3,∴2(2a1+2)=a1+(4a1+7),∴a1=-3,a2=-4 ∴d=a2-a1=-1; (2)证明:假设{an}是等比数列,则a22=a1a3 ∴(2a1+2)2=a1(4a1+7),∴a1=-4,a2=-6,a3=-9, ∵a4=2a3+4=-14,∴a32≠a2a4与等比数列矛盾 ∴假设不成立 ∴{an}不可能是等比数列; (3)假设存在,则有==常数 ∴,∴ ∴{an+n+2}是等比数列,首项为2,公比为2 ∴an+n+2=2n, ∴an=2n-n-2 ∴{an}的前n项和为--2n=2n---1 |
举一反三
等差数列{an}中,a3=2,则该列的前5项的和为( ) |
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2.数列{bn}为等比数列,且b1=1,b4=8. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若数列{cn}满足cn=abn,求数列{cn}的前n项和Tn; (3)在(2)的条件下,数列{cn}中是否存在三项,使得这三项成等差数列?若存在,求出此三项;若不存在,说明理由. |
已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项. (1)求a1的值及数列{an}的通项公式; (2)设bn=+(-1)n-1×2n+1λ,若数列{bn}是单调递增数列,求实数λ的取值范围. |
已知数列{an},其前n项和Sn=n2+n+1,则a8+a9+a10+a11+a12=______. |
已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a13+a14=77,且ak=13,则k=______. |
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