(1)证明∵Sn-1是方程x2-anx-an=0的根,n=1,2,3,… ∴(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0 当n=1时,a1=S1, ∴(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0, 解得S1=a1=, ∴=-2…(2分) 当n≥2时,an=Sn-Sn-1, ∴(Sn-1)2-(Sn-Sn-1)(Sn-1)-(Sn-Sn-1)=0 化简得SnSn-1-2Sn+1=0, ∴Sn=, ∴=-1, ∴-=-1,又=-2…(5分) ∴数列{}是以-2为首项,-1为公差的等差数列 …(6分) (2)由(1)得,=-2-(n-1)=-n-1 ∴Sn-1=-,带入方程得,(-)2-an(-)-an=0,∴an=, ∴原方程为x2-x-=0, ∴xn=, ∴=…(8分) ∴Tn=+++…+ ①Tn=+++…+② ①-②得Tn=+++…+- =-=1-…(11分)Tn=2-, ∴22013(2-T2013)=2015…(12分) (3)由(1)可得Sn= 假设存在不同的正整数p,q使得S1,Sp,Sq成等比数列 则sp2=s1•sq 即()2= ∵=-<(14分) ∴()2< 化简可得,p2-2p-1<0 ∴1-<p<1+ ∵p∈N*且p>1 ∴p=2 ∴= ∴q=8 ∴存在不同的正整数p=2,q=8使得S1,Sp,Sq成等比数列(16分) |