对于数列{an},定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=an+1-an,n∈N*;对k≥2,k∈N*,定义{△kan}为{an}的k阶差分数列
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对于数列{an},定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=an+1-an,n∈N*;对k≥2,k∈N*,定义{△kan}为{an}的k阶差分数列,其中△kan=△k-1an+1-△k-1an. (1)若数列{an}的通项公式为an=n2-6n,分别求出其一阶差分数列{△an}、二阶差分数列{△2an}的通项公式; (2)若数列{an}首项a1=1,且满足△2an-△an+1+an=-2n,求出数列{an}的通项公式an及前n项和Sn. |
答案
(1)△an=an+1-an=[(n+1)2-6(n+1)]-(n2-6n)=2n-5…3分 △2an=△an+1-△an=[2(n+1)-5]-(2n-5)=2…2分 (2)由△2an-△an+1+an=-2n, 则△an+1-△an-△an+1+an=-2n 即△an-an=2n, ∴an+1-an=an+2n,即an+1=2an+2n…2分 ∴=+, 则{}为公差是的等差数列…2分 又=, ∴=+(n-1)=n(n∈N*), ∴an=n•2n-1…2分 ∴Sn=1•20+2•21+3•22+4•23+…+(n-1)•2n-2+n•2n-1…① 2Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n…② ①-②得: -Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=-n•2n=2n-1-n•2n, ∴Sn=(n-1)2n+1(n∈N*)…2分 |
举一反三
等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d等于( ) |
已知等差数列{an}中,a1+a5=4,a2+a6=10,则它的前6项的和为S6=( ) |
{an}是等差数列,且a1+a4+a7=-12,a2+a5+a8=-6,如果前n项和sn取最小值,则n为( ) |
在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=100,则2a9-a10的值为( ) |
已知数列{an}为等差数列,数列{bn}是各项均为正数的等比数列,且公比q>1,若a1=b1,a2011=b2011,则a1006与b1006的大小关系是( )A.a1006=b1006 | B.a1006<b1006 | C.a1006>b1006 | D.a1006≥b1006 |
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