已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an•an+1,Tn为数列{b
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已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an•an+1,Tn为数列{b
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}是各项均不为0的等差数列,公差为d,S
n
为其前n项和,且满足
a
2n
=
S
2n-1
,n∈
N
*
.数列{b
n
}满足
b
n
=
1
a
n
•
a
n+1
,T
n
为数列{b
n
}的前n项和.
(I)求a
1
,d和T
n
;
(II)若对任意的n∈N
*
,不等式
λ
T
n
<n+8•(-1
)
n
恒成立,求实数λ的取值范围.
答案
(I)在
a
2n
=
S
2n-1
中,令n=1,n=2,
得
a
1
2
=
S
1
a
2
2
=
S
3
,即
a
1
2
=
a
1
(
a
1
+d
)
2
=3
a
1
+3d
,
解得a
1
=1,d=2,(3分)
∴
a
n
=2n-1.
∵
b
n
=
1
a
n
a
n+
1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
),
∴
T
n
=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1
)=
n
2n+1
.…(6分)
(II)(1)当n为偶数时,要使不等式
λ
T
n
<n+8•(-1
)
n
恒成立,
即需不等式
λ<
(n+8)(2n+1)
n
=2n+
8
n
+17
恒成立.
∵
2n+
8
n
≥8
,等号在n=2时取得.
∴此时λ需满足λ<25.(8分)
(2)当n为奇数时,要使不等式
λ
T
n
<n+8•(-1
)
n
恒成立,
即需不等式
λ<
(n-8)(2n+1)
n
=2n-
8
n
-15
恒成立.
∵
2n-
8
n
是随n的增大而增大,
∴
n=1时2n-
8
n
取得最小值-6.
∴此时λ需满足λ<-21.(10分)
综合(1)(2)可得λ<-21
∴λ的取值范围是{λ|λ<-21}.(12分)
举一反三
已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
1
=1,S
3
=a
5
,a
m
=2011,则m=( )
A.1004
B.1005
C.1006
D.1007
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}满足a
n+1
+a
n
=4n-3(n∈N
*
)
(Ⅰ)若{a
n
}是等差数列,求其通项公式;
(Ⅱ)若{a
n
}满足a
1
=2,S
n
为{a
n
}的前n项和,求S
2n+1
.
题型:浙江模拟
难度:
|
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已知数列{a
n
}为等差数列,它的前n项和为S
n
,且a
3
=5,S
6
=36.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)数列{b
n
}满足b
n
=(-3)
n
•a
n
,求数列{b
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
一个等差数列的第2项,第3项,第6项构成一个等比数列的连续三项,则该等比数列的公比等于( )
A.3
B.
1
3
C.3或1
D.
1
3
或1
题型:不详
难度:
|
查看答案
某礼堂第一排有5个座位,第二排有7个座位,第三排有9个座位,依此类推,第16排的座位数是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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